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条件付き確率の証明?

確率変数YとZが独立の時、 f(X|Y)=Ez[f(X|Y,Z)] を示せ。 ただし確率密度関数f(y)は常に正とし、Ezは確率変数Zに関する期待値を意味する。 この証明の仕方を教えていただけないでしょうか。 よろしくお願いします。

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noname#227064
noname#227064
回答No.1

以下の確率密度関数は手抜きをして全部fで表していますが、添え字を補って考えてください。 (例えばf(x, y)ならf_{X, Y}(x, y)というように) f(x, y)をX, Yの同時密度関数とすると、条件付き確率密度関数の定義から f(x|y) = f(x, y)/f(y) です。同様に Ez[f(x|y, z)] = Ez[f(x, y, z)/f(y, z)] ですが、YとZは独立 f(y, z) = f(y)f(z) なので、 Ez[f(x|y, z)] = Ez[f(x, y, z)/f(y)f(z)] = Ez[f(x, y, z)/f(z)]/f(y) = ∫{f(x, y, z)/f(z)}f(z)dz/f(y) = ∫f(x, y, z)dz/f(y) = f(x, y)/f(y) f(x|y) となります。 f(y, z)>0としていますが、f(y, z)=0となる場合もあるならば、 Ez[f(x|y, z)] = ∫_{f(y, z)>0} {f(x, y, z)/f(y, z)}f(z)dz +∫_{f(y, z)=0} 0・f(z)dz と分ける必要があります。

pekonekochan
質問者

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