- ベストアンサー
幾何学の問題
定理の証明がわからないのですがわかる教えてほしいです。 定理 f:X→Yを連結な図形Xから図形Yへの連続写像とすると、像f(X)は連結である。 よろしくお願いします
- toratora55
- お礼率0% (0/3)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数4
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
位相数学の初歩ですね。たぶんどの教科書にも証明は載っていそうですが。 位相空間や連続写像、連結性の定義についてはきちんと理解しておられるでしょうか? 位相空間といっても距離空間よりもっと一般的な、開集合族によって定義される 位相空間のことですが。それについて理解していないと以下の証明を見ても 理解できないと思います。 問題の書き方がずいぶんあいまいなので心配なのですが。 まず注意しておくことは連結性や連続写像についての命題ですから当然 Xは適当な位相が定義された空間、つまり位相空間であることを前提としています。 またYも位相空間でなければ命題は意味を持ちません。 そこで問題をきちんと書き直すと X、Yは位相空間、Xは連結とする。写像f:X→Yが連続ならば、像f(X)は連結である。 となります。 証明にはこの命題の対偶を示します。 f(X)は連結でないとせよ。するとYにおける2つの開集合A、Bで f(X) ⊂ A ∪ B かつ A ∩ B ∩ f(X) =φ であり A ∩ f(X) ≠φ かつ B ∩ f(X) ≠φ であるようなものが存在する。 AとBのfによる逆像を考えると f^{-1}(A ∪ B)= f^{-1}(A)∪f^{-1}(B)= f^{-1}(f(X))=X ……(1) f^{-1}(A ∩ B)= f^{-1}(A)∩f^{-1}(B)= f^{-1}(φ)= φ ……(2) そしてfは連続写像だからf^{-1}(A)とf^{-1}( B)はそれぞれTの空でない開集合である。 従ってXは連結でない。 ■
その他の回答 (1)
- rei00
- ベストアンサー率50% (1133/2260)
定理の証明であれば,数学の教科書にのっていると思いますが。 ご質問の内容であれば,幾何学ではなくて,写像とか関数の連続性とかが書いてあるあたりでしょうか。 私,数学は専門外ですので,昔の記憶をたどりながら回答しております。間違っているようでしたら,専門家の方,訂正お願い致します。
関連するQ&A
- 位相幾何学に関連した証明問題です。
X,Yを2つの位相空間とする。 写像f:X→Yが全単射で、連続であるとき、fが同相写像となるためには、fが開写像(または閉写像)となることが必要十分である。 これを示せ。 詳しい証明お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 大学の幾何学の問題です。
大学の幾何学の問題です。 (1)A=[0、1]∪(2、3]、B=[4、6]について、f:A→Bを次で定めると、fは一対一、上への写像、連続写像であるが逆写像は連続でないことを示してください。 f(x、y)={x+4(0≦x≦1) x+3(2<x≦3)} (2)R^2とR^3は同相でない
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 大学、幾何学の問題です。
大学、幾何学の問題です。 f:[0、1]×[0、1]→R^2について f(x、y)= {(x^2、y) 0≦x≦1 (x、y) 1<x≦2 } は連続写像であることを示して下さい。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 幾何学の問題がわかりません。
fを集合Xから集合Yへの写像、gを集合Yから集合Zへの写像とする。つぎを証明せよ。 1、fおよびgが単射ならばfとgの合成gfも単射である。 2、fおよびgが全射ならばfとgの合成gfも全射である。 3、|X|<_|Y|で||<_|Z|ならば|X|<_|Z|である。 この問題が分からないのですが教えて頂けないでしょうか。
- 締切済み
- 数学・算数
- 幾何学 弧状連結について
つぎの空間X が弧状連結であることを示したいのですが、 (X,OX) が弧状連結であるとは,任意のx, y ∈ X に対して, ある連続写像c : [0, 1] → X が存在して, c(0) = x, c(1) = y が成り立つことですよね。 これを使って、解けばいいんでしょうか? 1. X = Sn = {a ∈ Rn+1| ∥a∥ = 1} ⊂ Rn+1 2. f : Rn → Rm,m ≥ 2 を連続関数としたときX = {a ∈ Rn|f(a) ̸= 0} 教えていただけると助かります。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 位相幾何学の問題です。
平面図形Xにおいて、平面内の開集合VとWが存在して、 X∩V≠∅,X∩W≠∅,V∩W=∅,X⊂V∪W が成り立つとき、Xは不連結であるという。不連結でないとき、連結であるという。 X={(t,sin(1/n))|0<t<1}, Y={(0,t)|-1≦t≦1} であるとき、X∪Yは連結であるが弧状連結ではないことを示せ。 (有名問題らしいので証明も詳しくお願いします。)
- 締切済み
- 数学・算数
- 位相幾何学の問題です。
平面図形Xにおいて、 Xの任意の2点pとqに対して、 X内の折れ線でpとqを結ぶものが存在する とき、Xが弧状連結であるという。 X={(x,y)|1≦lxl≦2,lyl≦2}∪{(x,y)|lxl≦2,1≦lyl≦2} とする。Xが弧状連結であることを示せ。
- 締切済み
- 数学・算数
- 幾何学について質問です。
(1)X,Yが位相空間、f、f’;X→Yが連続写像であるとする。 A⊂XでAの閉包=X(Fが閉集合でA⊂FのときF=X)かつ、すべての a∈Aでf(a)=f’(a)が成立する。 i)yが(T_2)のとき,f=f'を示せ。 ii)yが(T_2)でないときはどうか。 (2) Gが位相群で(T_1)を満たすときGは(T_2)であることを示せ。 です。助けてください。お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数