弦の面積 と 孤の長さ

質問

円を中心を通らない1本の直線で切り取ったとします。
例えば
大きい方の面積が　元の円の面積の80％　の時に
孤の長さを元の円周の　％で示す方法はありますか？
（直線部分を含まない孤の部分のみです）

扇型であれば、面積80％の時に　孤の長さも80％になると思うのですが・・・

宜しくお願いします。

回答No.4

staratras · ベストアンサー

No.3です。肝心の表が添付されていませんでした。失礼致しました。

お礼

わざわざ表まで作っていただいてありがとうございます。
実務上はこの表で十分そうです。
たしかに面積が小さいうちは弦が円周の傾きに近いので、少しの面積増でも孤はかなり増えるのですね。
ちなみに実務とは
配管内を満たす水の量と、その時に水が配管に接する「潤辺」の長さを導きたかったのです。
ありがとうございました。

回答No.3

staratras

No.2です。補足ですがエクセルのゴールシーク機能を使って面積比と弧の長さの全円周に対する比の一覧表を作ってみました。（面積比50%超の分は100%から引けばよく、80%なら(100%-20%→100-33.63で)、弧の長さの比は66.37%となります。)

これを見ますと、例えば面積比が1%しかなくても弧の長さの全円周に対する比は11%を超えているように、面積比が小さいうちはこれと比較して弧の長さの比が著しく大きいことがわかります。逆に言えば面積比が大きくても弧の長さはそれに応じては大きくならないということですね。

回答No.2

staratras

手計算で近似値を求める方法を考えました。(三角関数表のお世話にはなりますが…）
計算を簡単にするため、添付した図のように半径1の円で考えます。

円全体の面積はπ(π×1^2）なので、分割した大きいほうの面積が元の円の80%であれば、小さいほうの鎌形の面積(水色に塗りつぶしたの部分）は元の円の20%、つまりπ/5です。

水色部分の面積は、扇形の面積から二等辺三角形の面積を引いたものなので、図の中心角をθ(ラジアン）とすると

π×θ/2π-(1/2×1^2sinθ）=π/5　つまり　θ-sinθ=2π/5　が成り立ちます。

楕円軌道のケプラー方程式に似た式なので、昔の天文計算のやり方で近似解を求めてみます。

　　　まず θ1=2/5π+sin2/5π≒1.256+0.951=2.207　から出発　
次に　　　 θ2=2/5π+sinθ1≒1.256+0.804=2.060
以下同様θ3=2/5π+sinθ2≒1.256+0.882=2.138
θ4=2/5π+sinθ3≒1.256+0.843=2.099
θ5=2/5π+sinθ4≒1.256+0.863=2.119
θ6=2/5π+sinθ5≒1.256+0.853=2.109
θ7=2/5π+sinθ6≒1.256+0.858=2.114
θ8=2/5π+sinθ7≒1.256+0.856=2.112

したがってθ≒2.11

分割した円の大きな部分の弧（優弧）の長さの割合は
(2π-2.11)/2π×100≒66.4（％）

念のためエクセルのゴールシーク機能で計算しますと
θ=2.11314475…となりました。

お礼

さっそくの回答ありがとうございます。
＃１さんと同じ式ですね。
実務で使うので、確かに近似値でもよいとは思っていたのですが、
80％　の値を任意で扱いたい　とすると大変そうですね。
ありがとうございました。

回答No.1

rnakamra

解析的には解けないような気がする。

半径をr,小さい側の弧の中心角をθとおくと直線で区切られた大きい方の図形の面積は

r^2*(2π-θ)/2+r^2*sinθ/2

となります。これが円の面積πr^2の80%ですから

{r^2*(2π-θ)/2+r^2*sinθ/2}/(πr^2)=0.8
2π-θ+sinθ=8π/5
θ-sinθ=2π/5
となりますが、このθは解析的に解けそうもありません。

Wolframalphaに入れたところ、θ≒2.11314と出てきましたので求める割合は2.11314/(2π)*100%となります。

参考URL：

http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve%28x-sin%28x%29%3D2pi%2F5%2Cx%29

お礼

さっそくの回答　恐縮です。
全く分野外の実務で必要が生じたのですが、やはり簡単ではないようでした。
簡潔に示していただいて　ありがとうございました。