数学 背理法

質問

3つの自然数a,b,cがa^2+b^2=c^2を満たしている。
このとき，a,bの少なくとも一方は偶数であること…(※)を証明せよ。

の問題について，背理法でa,bがどちらも奇数のとき矛盾することは，(※)が成立するための必要条件ではなくて，必要十分条件なのでしょうか。a,bのどちらかが偶数でも，a,bの両方が偶数でも成り立たない場合は(実際にはないが)考えなくてよいのでしょうか。

回答No.2

Caper

● ikzy さん が提示なさいました証明問題の表現のしかたを少し変更させてください。

　 < 1 >
　 a, b, c は任意に選んだ自然数であるとする。
　 このとき、「【P】a^2 + b^2 = c^2 である 」ならば「【Q】a, b の少なくとも一方は偶数である 」。

　 そこで、この < 1 > という表現を、さらに変更させてください。こんどは背理法を用いた表現です。

　 < 2 >
　 a, b, c は任意に選んだ自然数であるとする。
　 このとき、「『【P】a^2 + b^2 = c^2 であり 』かつ『【￢Q】a, b の両方が奇数である 』」ならば「 矛盾に至る 」。

　 ￢ という記号は、否定を意味します。

● < 1 > という表現から、通常の証明を行なおうとするときは、【P】から推論を開始させますよね。そして、【Q】という結論が得られるまでの過程を記述しようとします。

　 一方、< 2 > という表現から、背理法による証明を行なおうとするときは、【P】かつ【￢Q】から推論を開始させます。そして、「 矛盾に至る 」という結論が得られるまでの過程を記述しようとします。

● ところで、この証明問題が本当に証明されるのか否かに関係なく、この < 1 > と < 2 > は互いに必要十分条件になっているのです。すなわち、この証明問題に着手する前の時点において、< 1 > と < 2 > の真偽が一致することだけは確かなのです。( 「 偽 ならば 偽 」という命題が真であることに注意してください )

　 その理由は、「 U ならば V 」という形の命題と、「『 U かつ ￢V 』ならば『 矛盾に至る 』」という形の命題は、互いに必要十分条件になっているからです。言い換えれば、「 U ならば V 」という形の命題と、「『 U かつ ￢V 』の否定 」という形の命題は、互いに必要十分条件になっているからです。

　 ですから、仮に < 2 > が真であることが示された場合、自動的に < 1 > も真となります。もちろん、仮に < 1 > が真であることが示された場合、自動的に < 2 > も真となります。仮に < 2 > が偽であることが示された場合、自動的に < 1 > も偽となります。もちろん、仮に < 1 > が偽であることが示された場合、自動的に < 2 > も偽となります。

● 以上の私の記述にまちがいがある場合は、ひらにごめんなさい。

お礼

ありがとうございます。