三角関数の問題です

質問

座標P1 (X1, Y1)を、座標P3 (X3, Y3)を中心にθ度回転させると、座標P2 (X2, Y2)となりました。
このときの座標P3 (X3, Y3)はどのように表せますか？
よろしくご教授のほどお願いいたします

回答No.3

muturajcp

P1,P2,P3を複素数x1+iy1,x2+iy2,x3+iy3とすると
P2-P3=(P1-P3)e^{iθ}
x2-x3+i(y2-y3)
={x1-x3+i(y1-y3)}(cosθ+isinθ)
={(x1-x3)cosθ-(y1-y3)sinθ}+i{(x1-x3)sinθ+(y1-y3)cosθ}
x2-x3={(x1-x3)cosθ-(y1-y3)sinθ}
y2-y3={(x1-x3)sinθ+(y1-y3)cosθ}

P2-P3=P1e^{iθ}-P3e^{iθ}
P3(1-e^{iθ})=P2-P1e^{iθ}
P3=(P2-P1e^{iθ})/(1-e^{iθ})
=(P2-P1e^{iθ})(1-e^{-iθ})/{2(1-cosθ)}
=[P2+P1-P2e^{-iθ}-P1e^{iθ}]/{2(1-cosθ)}
=[P2+P1-P2cosθ+iP2sinθ-P1cosθ-iP1sinθ)]/{2(1-cosθ)}
=[x2+x1-x2cosθ-y2sinθ-x1cosθ+y1sinθ+i(y2+y1-y2cosθ+x2sinθ-y1cosθ-x1sinθ)]/{2(1-cosθ)}

x3={(x1+x2)(1-cosθ)+(y1-y2)sinθ}/{2(1-cosθ)}
y3={(y1+y2)(1-cosθ)+(x2-x1)sinθ}/{2(1-cosθ)}

回答No.2

mister_moonlight

回転の中心が原点の時、X2＝x1*cosθ-y1*sinθ、 Y2＝y1*cosθ+x1*sinθ　‥‥(1)　である事は、回転の公式から知ってるだろう。
従って、この問題にそれを適用すると、回転の中心が原点ではなくP3 (X3, Y3)だと言う事。
だから、(1)を平行移動してやればよい。

X2-x3＝(x1-x3)*cosθ-(y1-y3)*sinθ、 Y2-y3＝(y1-y3)*cosθ+(x1-x3)*sinθ　となる。
よって、X3とY3について整理すると、
(1-cosθ)x3＋y3*sinθ＝x2-(x1*cosθ-y*sinθ)、(1-cosθ)y3-x3*sinθ＝y2-(x1*sinθ-y1*cosθ)。
簡単のために、x2-(x1*cosθ-y*sinθ)＝α、y2-(x1*sinθ-y1*cosθ)＝βとすると、
(1-cosθ)x3＋y3*sinθ＝α　‥‥(2)、(1-cosθ)y3-x3*sinθ＝β　‥‥(3)　だから、これをx3とy3について解くだけ。
結果は、x3＝α/2、y3＝β/2　になる。但し、計算はチェックしてね。

回答No.1

sanori

こんにちは。

そのまま（Ｘ３，Ｙ３）です。
Ｐ３を中心とした回転移動ですので、Ｐ３は移動しません。

補足

説明不足で申し訳ありません。
Ｐ３の座標をX3, Y3を使わずに表したいのです。
よろしくお願いします。