外心をO 内心をIとする。OIを求めよ

質問

AB=8 BC=7 CA=5の三角形があり、外心をO 内心をIとする。OIを求めよ。
という問題の解説をどなたかお願いします。
オイラーの定理を使えば簡単なのですが 数IＡの問題として出ていたので
数IＡの知識だけで解けるような解説をお願いします。

回答No.4

momordica · ベストアンサー

数１A的に解きたいなら、適当に補助線など加えて解けばいいのでは。

とりあえず、外接円の半径　R=(7√3)/3　および内接円の半径　r=√3 までは求まったものとします。
（#1さんの回答は正弦定理の式がちょっと間違っているのでRが正しくありません）

O, I からそれぞれ辺ABに下ろした垂線の足を D, E 、さらにOから直線IEに下ろした垂線の足をFとすると、

DはABの中点なので、AD=4
Eは内接円とABの接点なので、AE=(AB+BC+CA)/2-BC=3
∴　OF=DE=AD-AE=1
また、OA=R=(7√3)/3,　IE=r=√3
∴　FE=OD=√(OA^2-AD^2)=(√3)/3
∴　IF=IE-FE=√3-(√3)/3=(2√3)/3
∴　OI=√(OF^2+IF^2)=(√21)/3

回答No.3

noname#189285

座標で考えました。下の添付図を参照して下さい。

左の図の通りAを(0,0)、Bを(8,0)とします。Cを(α,β)とすると

ACの長さに関して　α^2＋β^2＝5^2・・・(1)
BCの長さに関して　(8-α)^2＋β^2＝7^2・・・(2)

上記(1)、(2)の方程式を解き、
α＝5/2
β＝(5/2)√3

従ってACの式は
Y＝(√3)X

ACの中点の座標は( 5/4 , (5/4)√3 )

ACの直角二等分線(緑線)の式は
Y＝(-1/√3)X＋(5/3)√3・・・(3)

ABの直角二等分線(水色)は
X＝4・・・(4)

(4)を(3)に代入すると

Y＝(-4/3)√3＋(5/3)√3
　＝(1/3)√3

従って外接円の円心の座標は
( 4 , (1/3)√3 )

**************************

右の図で内接円のX座標をPとすると、円心から各辺の垂線で分割される長さは図の通り表されるので、

8-P＝2+P　より

P＝3

線ACは長さ5に対してXは5/2増すので、円心からの垂線の足のX座標は3/2、従ってY座標は(3/2)√3　(緑)

従って上記垂線(緑線)の式は
Y＝(-1/√3)X＋2√3・・・(5)

円心のX座標は上記P=3なので、X=3を(5)に代入すると
Y＝-√3＋2√3
　＝√3

以上から内接円の円心の座標は　
( 3 , √3 )

****************************

以上から求める答えは

OI^2＝(4-3)^2＋( (1/3)√3 - √3 )^2
　　　＝1^2＋( (-2/3)√3 )^2
　　　＝1＋4/3
　　　＝7/3

OI＝(√21)/3

以上です。

回答No.2

mister_moonlight

＞数IＡの問題として出ていたので

平面幾何が数IＡに分類されるからそのように分類されてるだけで、オイラーの定理を何故数IＡから除外するのか？
数IＡをベースとした、その上の知識に過ぎない。
オイラーの定理を使わずに、という質問なら話はわかるが。

オイラーの定理が駄目なら、ベクトルか座標になるだろう。
そちらの方が、数IIＢの知識になる。

回答No.1

tomokoich

外接円の半径をR ,内接円の半径をrとする
余弦定理より
cosA=(CA^2+AB^2-BC^2)/2×CA×AB
=(5^2+8^2-7^2)/(2×5×8)
=(25+64-49)/80
=1/2
A=60°

三角形ABCの面積=(1/2)×8×5×sin60°=(1/2)×(8+7+5)×rより
10√3=10r
r=√3

正弦定理より
2R=8/sinA
2R=8/sin60°
R=8√3/3

内心と外心の関係R^2-2Rr=OI^2
OI^2=(8√3/3)^2-2×(8√3/3)×√3
=64/3-16
=16/3
OI=4√3/3

補足

[内心と外心の関係R^2-2Rr=OI^2]
というのがオイラーの定理で、
数IＡの内容ではないと思うんですよね。
なので別の解法を知りたいです。