指数関数と根号が混じった問題教えてください

質問

青チャートの指数関数と根号が混じった問題教えてください
－^3√16－^3√2＋^3√54

＝－^3√2^3×2－^3√2＋^3√3^3×2

＝－2^3√2－^3√2＋3^3√2

庭を2でそろえたのは分かるんですけど
途中のルートの中の３乗の数字がなんで根号から外れたのか分かりません
教えてください。

回答No.4

gohtraw · ベストアンサー

^3√　は三乗根のことですね？以後（）＾（１／３）　と表します。
例えば（ａ＾３）＾（１／３）＝ａ　ですから、三乗根の中で三乗になっている分が三乗根の外に出て三乗が外れます。
第一項：－（２＾３＊２）＾（１／３）＝－２＊（２＾３）＾（１／３）＊２＾（１／３）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝－２＊２＊２＾（１／３）
第三項：（３＾３＊２）＾（１／３）＝（３＾３）＾（１／３）＊２＾（１／３）
　　　　　　　　　　　　　　　　　＝３＊２＾（１／３）
となります。

お礼

ありがとうございます理解できました。
他に回答を下さった方々もありがとうございます。

回答No.3

R_Earl

> 途中のルートの中の３乗の数字がなんで根号から外れたのか分かりません
> 教えてください。

中学で習った平方根とほとんど同じです。
例えば√18は
√18 = √(2 × 3^2) = 3√2
と変形できますよね。
これとほとんど同じです。

2乗根では√(ab^2) = b√aが成り立ちますが、
3乗根では^3√(ab^3) = b(^3√a)、
4乗根では^4√(ab^4) = b(^4√a)が成り立ちます。

^3√(ab^3) = b(^3√a)が成り立つ理由は、

^3√(ab^3)
= (^3√a) {^3√(b^3)}
= (^3√a) ・b

と変形できるからです。

4乗根、5乗根でも同様の話が成り立ちます。

回答No.2

noname#157574

次のように書きましょう。
与式＝－16^(1/3)－2^(1/3)＋54^(1/3)
　　　＝－(2³×2)^(1/3)－2^(1/3)＋(3³×2)^(1/3)
　　　＝－2・2^(1/3)－1・2^(1/3)＋3・2^(1/3)
　　　＝(－2－1＋3)・2^(1/3)
　　　＝0

回答No.1

sanori

こんにちは。

２×２×２の３乗根は２。
３×３×３の３乗根は３。

－^3√16－^3√2＋^3√54
表記を変えれば、
－１６^(1/3)　－　２^(1/3)　＋　５４^(^1/3)

　＝　－（２×２×２×２）^(1/3)　－　２^(1/3)　＋　（２×３×３×３）^(1/3)
　＝　－（２×２×２）^(1/3)×２^(1/3)　－　２^(1/3)　＋　（３×３×３）^(1/3)×２^(1/3)
　＝　－２×２^(1/3)　－　２^(1/3)　＋　３×２^(1/3)
　＝　（－２－１＋３）×２(1/3)

＞＞＞庭を2でそろえたのは分かるんですけど

そろえてません。
たまたまそろっただけです。