至急お願いします(x_x;)

質問

至急お願いします(x_x;)

高３です。

この問題についての解説(模範解答)をお願いしますｍ(+_+)ｍ　
急いでいますので分かる方は至急、お願いいたします。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

ANo.1です。

＞しかし答えを見るとθ=π/4,3π/4となっています・・・。

　確かにθ=3π/4　を忘れていました。

＞　　{(2cosθ+sinθ)-sinθ}/{(cosθ+2sinθ)-cosθ} = {(4cosθ+5sinθ)-sinθ}/{(5cosθ+4sinθ)-cosθ}
＞　∴tanθ=1　∴θ=π/4　　【必要条件】

　前回の回答ではこのようにしましたが、ここに誤りがありました。

　　{(2cosθ+sinθ)-sinθ}/{(cosθ+2sinθ)-cosθ} = {(4cosθ+5sinθ)-sinθ}/{(5cosθ+4sinθ)-cosθ}
　⇔1/tanθ=(cosθ+sinθ)/(cosθ+sinθ)

と変形できますが、右辺の分母が０になるケースを考慮することを忘れていました。
　そのため、ここでは直線P(1)P(2)と直線P(2)P(3)の変化の割合が一致するとして、次のように立式した方が良いです。

　{(2cosθ+sinθ)-sinθ}/{(cosθ+2sinθ)-cosθ} = {(4cosθ+5sinθ)-(2cosθ+sinθ}/{(5cosθ+4sinθ)-(cosθ+2sinθ)}
⇔cos(2θ)=0
∴θ=π/4,3π/4　【必要条件】

　あとはθ=π/4のときについては前回の回答通りですが、θ=3π/4 のときについては次のように検証します。

　θ=3π/4 のとき　P(1)=(-1/√2,1/√2), P(2)=(1/√2,-1/√2), P(3)=(-1/√2,1/√2) となりますので、ここから　P(n)=(-1)^(n-1)(-1/√2,1/√2) と分かります。（厳密には数学的帰納法で証明してください。）
　ここで、P(1),P(2),P(3),・・・,P(n)は　P(1),P(2)を交互に行ったり来たりするだけです。
　またP(1),P(2)のx座標とy座標は　ｙ＝－ｘ　の関係にあります。
　従って、P(1),P(2),P(3),・・・,P(n)は直線ｙ＝－ｘ上にあることが分かります。

お礼

遅れてすみません。ありがとうございました。

回答No.1

Mr_Holland

添付画像の添え字が消えてしまっているようですね。
　P(1)=P, P(2)=Q, P(n+1)=AP(n) だと思って、以下回答します。

　題意から、P(1),P(2),P(3)を求めますと次のようになります。
　　P(1)=(cosθ,sinθ)
　　P(2)=(cosθ+2sinθ,2cosθ+sinθ)
　　P(3)=(5cosθ+4sinθ,4cosθ+5sinθ)

　ここから直線P(1)P(2)の変化の割合は直線P(1)P(3)の変化の割合と等しくなければなりませんので、次のことが分かります。
　　{(2cosθ+sinθ)-sinθ}/{(cosθ+2sinθ)-cosθ} = {(4cosθ+5sinθ)-sinθ}/{(5cosθ+4sinθ)-cosθ}
　∴tanθ=1　∴θ=π/4　　【必要条件】

　従って、ここからは　θ=π/4　のときに点P(1),P(2),P(3),・・・,P(n)が一直線上にあることを確認します。（十分性の確認）

　θ=π/4 のとき、P(1),P(2),P(3)は次のようになります。
　　P(1)=(1/√2) (1,1)
　　P(2)=(3/√2) (1,1)
　　P(3)=(9/√2) (1,1)

　ここから　P(n)={3^(n-1)/√2} (1,1) となることが予想されますので、数学的帰納法により確かめます。
　　n=1のとき　P(1)={3^(1-1)/√2} (1,1) =(1/√2) (1,1)　で成立。
　　n=kのとき成り立つと仮定すると、
　　n=k+1 のとき　P(k+1)={3^(k+1-1)/√2} (1,1) =(3^k/√2) (1,1)　で成立。
　∴P(n)={3^(n-1)/√2} (1,1)

　点P(n)のｘ座標とｙ座標はいずれも等しいので、点P(n)は　直線ｙ＝ｘ上にあることが分かります。　【十分性の証明】

　従って、点P(1),P(2),P(3),・・・,P(n)が一直線上にあるための必要十分条件は
　　θ=π/4
となります。

お礼

遅れてすみません。ありがとうございました。

補足

ありがとうございますm(_ _)m
理解できました。

しかし答えを見るとθ=π/4,3π/4となっています・・・。
y=-x(変化の割合1)のときも成り立つのでしょうか？