中学数学(相似)についての質問
- 対応する面が平行で、距離も同じであることが相似の条件とされているが、この条件のみで相似を表現できるのか疑問
- 立体の相似において、対応する面が平行で、距離が一定であることが相似の条件とされているが、この条件のみで相似と言えるのか疑問
- 立体の相似において、対応する面が平行で距離が一定の条件が相似の必要条件であるが、十分条件とは言えない疑問
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中学数学(相似)
中学数学(相似) 教えて頂きたいことがあります。 以前、以下のような質問をさせていただいたのですが、 「1辺の長さが6の正四面体ABCDがある。 頂点Aから底面BCDへ引いた垂線の足をHとする。 また、直線BHと辺CDとの交点をMとする。 半径がrの球が4個あり、どの球も他の3個の球と接しており、また、正四面体ABCDはこの4個の球を 内部に含み、四面体のどの面も3個の球と接している。 このとき、rの値を求めなさい。」 上記の問題について、正四面体ABCD(これをTとする)の内部に4個の球の中心を頂点とする四面体(これをUとする)ができると思いますが、その立体Uが正四面体であることを、この問題のあった問題集の解説では、TとUが相似の位置にあることで示していました(以下のように)。 (1)対応する面はそれぞれ、平行かつ距離(球の半径)が同じ (2)相似の中心は四面体Uの内接球の中心 私が確認させていただきたいのは、立体の相似において、対応する面が平行で、その平面間距離が各対応面で一定であることをもって相似と言って十分なのか?ということです。 今まで経験した立体の相似問題では、対応する点を結んだ直線が一点(Oとする)で交わり、Oから対応点までの長さの比がすべて等しいという一般的なもので、今回確認させていただきたい内容が、今述べたいわゆる一般的な相似条件を満たすのでしょうか。 お忙しいとは存じますが、よろしくお願いします。
- kunkunken
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> 立体の相似において、対応する面が平行で、 > その平面間距離が各対応面で一定であること > をもって相似と言って十分なのか? 一般には、十分ではありません。 TとUの各面が平行で、かつ、ある点Oの 各対応面からの距離の比が共通である場合、 TとUは、Oを中心とした相似の位置にある といい、相似であることが判ります。 これは、一般的に言えます。 今回の例では、偶々、TもUも正四面体で、 重心から各面への距離が等しいために、 各対応面間の距離が一定であることから 各対応面からOへの距離の比が共通であることを 導くことができるのです。
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- Quattro99
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平行で距離が同じなので、内接球の中心から対応点までの長さの比が等しいことが言えます(どの二組の対応点を取っても、中心と結ぶことで相似な三角形が出来る)。
お礼
Quattro99さん ご回答ありがとうございました。
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