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ｘ＋ｙ＋z＝3 ｘ＾2＋y^2＋z^2＝9のとき、4xyの最大値 最
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- info22_
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x+y+z=3 …(1) x^2+y^2+z^2=9…(2) 4xy=k …(3) とおくと (3)から y=k/(4x) …(4) (1)から z=3-x-k/(4x)…(5) (4),(5)を(2)に代入してy,zを消去して整理すると 16x^4-48x^3+4kx^2-12kx+k^2=0 …(6) x(≠0)を実数の範囲で変化させたときのkの範囲を求めればよい。 そのときのkの上限、下限がk=4xyの最大値、最小値となる。 最大値、最小値を求めてみよう。 (6)の左辺=f(x,k)とおく。 xでの微分f'(x,k)=0を満たすxがkの最大値、最小値を与える候補なので f'(x,k)=0から 4(16x^3-36x^2+2kx-3k)=0 …(7) (6),(7)を連立方程式として解くと(4),(5)からx≠0の場合を除けば (x,k)=(2,16),(3(1±√5)/4,-9) このとき(4),(5)からy,zも求めておくと (x,y,z,k)=(2,2,-1,16),(3(1±√5)/4,3(1-(±√5))/4,3/2,-9)（復号同順) x=0の場合はk=4xy=0なので上のkの範囲に入っており最大値、最小値にはならない。 k=4xyの最大値=16(x=y=2,z=-1の時) k=4xyの最小値=-9(x=3(1±√5)/4,y=3(1-(±√5))/4,z=3/2の時,復号同順) 実際に(6)式のkを縦軸、xを横軸にとってグラフを描いてみるとkの最大値、最小値の意味が よく分かるだろう。（添付図参照） なお、別解として「ラグランジュの未定乗数法」（参考URL）を使う方法もあります。
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