1=0.999...的な質問

質問

初めて質問します。

1=0.999...という話ですが、10進数で実数をあらわしたとき、
複数通りの表現方法があるのでしょうか？
実数が非可算とか言う話で、(0,1)区間の10進数の数を、
数えてたりしたような気がしますが、
重複して数えても良いんでしょうか？

せいぜい、2通り位なんでしょうかね？

回答No.3

tez3

この内容の質問は過去に何度もなされていますよ。
0.999で検索をかけると見つかります。

まずは検索をかけてみて下さい。

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=39280
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=32339

お礼

ご回答ありがとうございます。
完全に重複した質問でした。

実数の定義が原始的すぎたようです。
ただ、集合{0...9}の可算無限個の直積から、
実数への写像をかんがえると、1対1じゃ無いのかなあとか、
数学で、無限の直積を扱った記憶が無いなあとか、
かんがえながらの質問でした。

しかし、実数の定義は、無理やり過ぎるような気が知るのは、
僕だけでしょうか。

回答No.2

ametsuchi

すいません。一寸補足させてください。

開区間(0,1)は「１」を含みませんが、その「上限」は＝１です。

「上限」がその区間自身に属すとは限らないという面白い性質があります。極限が自分の範囲を飛び出しちゃうんですね。

開区間という概念を一般化した「開集合」では、（距離空間の話に限定するなら）その集合に属する任意の点に対して、あるε近傍（>０の半径εの球、または２Dなら円）が存在しそのε近傍が丸ごと集合内に含まれるという性質があります。性質というより「公理」なんですが..。（<--分からなければ、ここ、すっ飛ばして下さい）

今回の１次元、数直線上でも全く同じで、（0,1）に属する任意の点（＝数値）ｘに対して、ある正の実数ε>0が存在し、x-ε>0, x+ε<1 とすることが出来ます。ここに、xは0.99999999999999のように小数点以下に9が果てしなく続く数を想定しています。

お礼

ご回答ありがとうございます。

回答No.1

ametsuchi

敢えて反論覚悟で言えば、基本的に一通りのはずですよ。

0.9999999......と果てしなく続けても、有限桁である限り=1.0でないのはご存知のとおりです。しかし、その極限は=1です。もし１でないとすると矛盾が生じます。（証明略）

0.9dot（「dot」は9の上に点）はこれも10進小数の書き方の一つと認めれば、確かに「１」を表現するのに２通りの方法がないともいえないのでしょうが、そんなこと言いだしたら、

1/3*3=1

ですから、「1/3*3」も「１」の表記法になっちゃいます。表記法が何通りあるかと言うのはあまり重要な問題とは思えません。

「重複して数えても」：多分何か勘違いをされているか、失礼ながら、「数」というものをまだキチンと把握されていないのではないでしょうか？「１」の表記法が何通りあろうと、「１」はただ１つです。表記法とは関係ありません。

また、「(0,1)区間」とありますが、これは開区間といって、「１」も「０」も含みません。0.999999999.....と9をいくら続けてもこの開区間内に入りますが、１は含まないのです。「[0,1]区間」は閉区間といって、「１」も「０」も含みます。先ず、「開区間」、「閉区間」という概念を理解する方が先決だと思います。

専門家でもないのにエラソーなこと言ってすいません。