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場合の数の問題です。
場合の数の問題です。 場合分けして説くことはできたのですが （かなり時間がかかりました） スマートに説く方法はあるのでしょうか。 答えは４９２通りだと思います。 問題。 １から６までかかれたカードが１枚ずつ6枚 １から４までかかれた箱が4つある。 １つの箱には２枚までカードを入れられる。 ６枚のカードすべてを４個の箱に入れるとき、 カードと箱の番号が全く一致しない入れ方は何通りか？ ただしカードを入れない箱があってもよい。 よろしくお願いします。
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- 20080715
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確かに答えは492通りですね。 あまりスマートとはいえませんが、包含と排除の原理を使えば、 次のような計算式で答えを出すことは可能です。 (以下では、comb(a,b)は二項係数の意味です。) Σ[k=0～4]Σ[j=0～2]comb(4,k)*((-1)^k)*(6-k)!*comb(4-k,j)*comb(k+j,2-j)*(1/2)^(4-k-j) =492. １つの箱に高々２枚までカードを入れるとき、 4個ある箱のうち、特定の k 箱にその箱と同じ数字のカードが入っているような 入れ方は、x の多項式 (6-k)!*((1+x)^k)*(1+x+x^2/(2!))^(4-k) を展開したときのx^(6-k)の係数に等しいです。 この係数をf(k)とすると、 f(k)=Σ[j=0～2](6-k)!*comb(4-k,j)*comb(k+j,2-j)*(1/2)^(4-k-j) とかけます。 そこで包含と排除の原理より、求める場合の数は、 Σ[k=0～4]comb(4,k)*((-1)^k)*f(k) = 492 となります。
お礼
私の説明不足で申し訳ございません 高校数学の範囲で制限時間５分で解けるらしいのです。 この度は解答ありがとうございました。
- nag0720
- ベストアンサー率58% (1093/1860)
この問題はちょっとやっかいですね。 １つの箱には２枚までという制限だけを考えると、 2-2-2-0のパターンが４通り 2-2-1-1のパターンが６通り それぞれのカードの入れ方は、 2-2-2-0の場合は、6!/(2!2!2!)=90 2-2-1-1の場合は、6!/(2!2!)=180 ここで、カードと箱の番号が一致しないという条件を加えると、 2-2-2-0の場合 1のカードが1の箱に入る組み合わせの数は、 5!/(2!2!)=30 2のカードが2の箱に入る組み合わせの数、3のカードが3の箱に入る組み合わせの数も同様です。 1のカードが1の箱に入り、2のカードが2の箱に入る組み合わせの数は、 4!/(2!)=12 他の組み合わせも同様 1のカードが1の箱に入り、2のカードが2の箱に入り、3のカードが3の箱に入る組み合わせの数は、 3!=6 カードと箱の番号が一致しない組み合わせの数は、これらを差し引きして、 6!/(2!2!2!)－5!/(2!2!)*3＋4!/(2!)*3－3!=30 2-2-1-1の場合も同様に計算して、 6!/(2!2!)－(5!/(2!)*2+5!/(2!2!)*2)＋(4!+4!/(2!)*4+4!/(2!2!))－(3!*2+3!/(2!)*2)＋(2!)=62 以上から 30*4＋62*6=492
お礼
ありがとうございます。 私が解いた方法よりスマートに解けました。 ただ、制限時間5分で解けるらしいのです。 もし他の方法がありましたらお願いいたします
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