n＝１のとき（数列）

質問

階差数列の一般項を求めるとき「ｎが２以上のとき」、と断って一般項を求め、その後、必ずｎ＝１のときその一般項が成り立つか調べますが、何故でしょう。
ｎ＝１のとき成り立たないことがあるからなのでしょうか。とすれば、成り立たないサンプルを挙げて下さい。

回答No.4

pocariblue

a[1]＝1,　a[n+1]＝2a[n]（ただし、ｎ＝1,2,3,・・・）
という数列{a[n]}の階差数列{b[n]}（ただし、ｎ＝1,2,3,・・・）を例にとります。

　b[n]＝a[n+1]－a[n]
　　　＝2a[n]－2a[n-1]
　　　＝2(a[n]－a[n-1])
　　　＝2b[n-1]

このように式変形することで、
数列{b[n]}が、公比２の等比数列であることがわかります。

ただし、このような式変形が可能なのは、
「ｎが２以上の整数のとき」に限ります。
「ｎ＝１のとき」を除外して話を進めないと都合が悪いのです。

なぜなら、もしも、この段階で「ｎ＝１のとき」を含めてしまうと、
上記の式変形の中に、a[0]，b[0]という、
どこにも定義されていない項が出現することになってしまうからです。

ですから、そのような矛盾を回避するために、
「ｎ＝１のとき」を場合分けせざるを得ないのです。

その結果、「ｎ＝１のとき」を後回しにして、とりえあず、
＞「ｎが２以上のとき」、と断って一般項を求め、
＞その後、必ずｎ＝１のときその一般項が成り立つか調べ
という解答手順になります。

お礼

回答ありがとうございます。
ｎが２以上のときに限って進める以上、n=1は後で確認せざるを得ない、ということですね。
求めた一般項って不思議とn=1のとき成り立ってしまいますよね。