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線形代数 部分空間の次元・・・？ 階数
線形代数の問題でわからないものがあるので質問させてください。 ************* ＳをＲ^4の(線形)部分空間とし、(列)ベクトルa1,a2,a3,a4∈Ｓとする。{a1,a2,a3}がＳの基底をなすとき、以下の行列の階数をそれぞれ求めよ。ただし、行列の階数がかならずしも1つの値に定まらないこともある。 なお、e1,e2,e3,e4はそれぞれ第1、第2、第3、第4単位ベクトルを表す。 (1) (a1,a2) (2) (a1,a2,a3,a4) (3) (a1,a1+a2,a1-a2,a1+a3) (4) (a1,a2,e1,e2) (5) (e1,e2,e3,e4,a1,a2) (6) (a1,a1+e1,a1+e2,a1+e3,a1+e4) ************* 「具体的な行列の階数を求めよ」と言われれば解けるのですが、このような文字式になるとまったくわからなくなってしまいます。 この場合における単位ベクトルの意味もよくわかりません。 解法だけで"階数"というものを理解しているためにこのようなことになってしまったのだと思います。 実を言うと恥ずかしながら、問題が言っていることの意味もいまいちわかっておりません。 詳しい方、考え方と解法をご教授お願いします。
- xov
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- Tacosan
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(1)～(3) はそれで OK. e が入ってくるやつに関しては先に e の入るベクトルたちで次元を考えておいて, そのあとで残りのベクトルが独立になるかどうかを考えるといいかもしれません. とりあえず (4) をいきます. まず e1～e4 で R^4 の基底になるので, e1～e4 はすべて独立です. つまり, まず e1, e2 という 2本の独立なベクトルがあるので階数は最低でも 2 です. 次に a1, a2 を考えますが, このとき ・a1, a2 がいずれも e1, e2 の張る部分空間に存在する ・a1, a2 は e1, e2 と独立だが a1 が a2, e1, e2 の線形結合になる ・a1, a2, e1, e4 がすべて独立 の 3パターンがあり得ます (確認してみてください). したがって階数数は 2, 3, 4 のいずれかです. (5) は簡単なので飛ばして (6) へいきますが, 容易にわかるように (a1, a1+e1, a1+e2, a1+e3, a1+e4) から基本変形で (a1, e1, e2, e3, e4) が得られます. つまりこの 1ステップで (5) と (6) が本質的に同じであることが分かりますね.
- Tacosan
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そりゃぁ, 記号で処理するためには「独立性」を使わないとダメですよ. さて, これで (1)～(3) は終わったな, と.
お礼
何度ももありがとうございます。 (1)～(3)は 2,3,3 という答えになりました（正しいでしょうか・・・）。 eが介入してくる場合、どのように考えたらいいのでしょうか。
- Tacosan
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「階数」もだけど「基底」もおさえておかないと解けないと思う. で, この 2つがわかっていれば (1)～(3) まではほぼ自明. あたまをひねるのは (4)～(6) だけど, 実は (5) と (6) もほぼ自明なのでなやましいのは (4) だけじゃないかな. 記号的に処理しても (4) 以外はなんとかできるんだけどねぇ....
お礼
回答ありがとうございます。 "基底"ということは、一次独立性を考えればいいのでしょうか？ 「{a1,a2,a3}は一次独立」を利用して、それぞれの行列の一次独立性を調べるという感じですか？
- koko_u_u
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>解法だけで"階数"というものを理解しているためにこのようなことになってしまったのだと思います。 じゃあ、階数の定義を補足にどうぞ。
補足
解法だけで理解しているので、「行列を変形して０のみの行を作り、０のみの行になり得ない行の数」を階数と私は認識しています（"次の行列の階数を求めよ"で具体的な行列を与えられれば求めることができます）。 この定義（というか考え方）は間違っていますか？
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