簡単な計算式に直す方法を教えてください

質問

連続するある数からある数（例：１から３０）を、それぞれ２乗した数の合計の出し方（例：１×１＋２×２＋・・・＋３０×３０の合計）について、できるだけ単純な式にして解く方法をお教えいただけませんでしょうか。
よろしくお願いいたします。

回答No.2

proto · ベストアンサー

証明法は高校で習うはずですが。
証明したい事を式で書き表すと、
　　Σ[k=1～n]{k^2} = n*(n+1)*(2n+1)/6
となります。
今回、
　　Σ[k=1～n]{1} =　n
　　Σ[k=1～n]{k} =　n*(n+1)/2
は既知だとして証明します。

　　Σ[k=1～n]{(k+1)^3-k^3}
を二通りの方法で計算してみます。
まずは、ただ普通に項を書き並べてみます、
　　Σ[k=1～n]{(k+1)^3-k^3} = (2^3-1^3) + (3^3-2^3) + (4^3-3^3) + ... + ((n+1)^3-n^3)
さて、右辺をよく見ると、-1^3と(n+1)^3以外の項はプラスとマイナスが打ち消しあって消えてしまいますね。
すなわち、
　　Σ[k=1～n]{(k+1)^3-k^3} = (n+1)^3-1

次に(k+1)^3-k^3を展開してから計算してみます、
　　(k+1)^3-k^3 = 3k^2+3k+1
より、
　　Σ[k=1～n]{(k+1)^3-k^3} = Σ[k=1～n]{3k^2+3k+1} = 3*Σ[k=1～n]{k^2} +3*Σ[k=1～n]{k} +Σ[k=1～n]{1}
　　　　　　　　　　　　　　= 3*Σ[k=1～n]{k^2} +3*n*(n+1)/2 +n
となります。
右辺に現れているΣ[k=1～n]{k^2}がいま求めたいものですね。

二通りの計算方法から
　　3*Σ[k=1～n]{k^2} +3*n*(n+1)/2 +n = (n+1)^3-1
と分かりました、ここからはひたすら式を展開・整理して
　　3*Σ[k=1～n]{k^2} = (n+1)^3 -1 -3*n*(n+1)/2 -n
　　　　　　　　　　　= n^3 +(3/2)*n^2 +(1/2)*n
　　　　　　　　　　　= n*(n+1)*(2n+1)/2
両辺を3で割って
　　Σ[k=1～n]{k^2} = n*(n+1)*(2n+1)/6
これが即ち求めたいものであった。

これと同じ手順を繰り返すことで、Σ[k=1～n]{k^i} (0≦i≦m-1)を既知として、
　　Σ[k=1～n]{(k+1)^(m+1)-k^(m+1)}
を二通りの方法で計算することにより、帰納的にΣ[k=1～n]{k^m}を求めることが出来ます。

お礼

何度もすいませんでした。
御丁寧に回答いただき、ありがとうございました。

回答No.1

proto

かけ算の記号を*、わり算の記号を/としてとして、
　　30*(30+1)*(2*30+1)/6
と計算出来ます。

もっと一般に1からnまでなら、
　　n*(n+1)*(2n+1)/6
と計算出来ます。

補足

電撃のような素早い御回答ありがとうございます。
なぜそうなるのかについて、もしご存じでしたら御教示いただけませんでしょうか。
何度もお手を煩わせてすいません。よろしくお願いいたします。