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代数学の問題: Let p be a prime and let G be the additive group (Z_p×Z_p,+) - 質問
muturajcpの回答
G=(Z_p×Z_p,+) (1)Gの位数pの部分群は次の p+1 個 <(1,0)>,<(1modp,ymodp)>_{1≦y≦p-1},<(0,1)> 2≦x≦p-1,1≦y≦p-1,に対して xとpは互いに素だから1=nx-pとなる自然数nがある 1<p/(p-1)≦p/x<n≦(1+p)/x≦(1+p)/2<p nx=p+1 だから n(xmodp,ymodp)=(nxmodp,nymodp)=(1modp,nymodp) (xmodp,ymodp)は(1modp,nymodp)が生成する巡回群を生成し位数が等しいから <(xmodp,ymodp)>=<(1modp,nymodp)> (2)x≠y∈G,x+H=y+H,|H|=p,H⊂G,となるHは<(x-y)>ただ1つとなる x-y∈Gとするとx-y∈<x-y>だからx+<x-y>=y+<x-y>,|<x-y>|=p x+H=y+Hとすると x-y∈H だから<x-y>⊂H,|<x-y>|=p=|H|だから<x-y>=H 例えばZ_4=Z_2×Z_2で(0mod2,1mod2)を生成元とする巡回群<(0mod2,1mod2)>は <0mod2,1mod2>={(0mod2,1mod2),2(0mod2,1mod2)=((2*0)mod2,2mod2)=(0mod2,0mod2)}で これはZ_2×Z_2の単位元(0mod2,0mod2)を含んでいるので Z_p×Z_pの部分群になる。
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