二重根号についての質問です

質問

数字における二重根号の問題は解けるんですが今日初めて文字の問題にぶつかり、意味が理解できず困っています。
問題a≧0のとき次の式を簡単にせよ
√(a＋8＋6√（a－1）)－√(a＋8－6√（a－1）)
といったものです。
僕は当初√（a－1）＋√9－〔√(a－1)－√9〕＝2√9＝6としたところで一旦答えを見ると後者に絶対値が掛けられていました。ここで頭がパンクしてしまって今に至っています。ここから本当の解答までを道程を回答して頂ければ幸いです。
あとこれって二重根号の中では難しい問題の部類に入るんですかね？

回答No.4

info22

＞問題a≧0のとき次の式を簡単にせよ
√内≧0からa≧1の問題の間違いですね。

＞√(a＋8＋6√（a－1）)－√(a＋8－6√（a－1）)
a＋8＋6√(a－1)=(a＋8＋2√9(a－1))
=(a-1)+2{√(a-1)}√9 +9
={√(a-1)}^2+2{√(a-1)}√9 +(√9)^2
={√(a-1)+√9}^2
√{a＋8＋6√(a－1)}=√{√(a-1)+√9}^2=√(a-1)+√9
=3+√(a-1)

同様にして
a＋8－6√(a－1)=a＋8-2√{9(a－1)}
=(a-1)-2{√(a-1)}√9 +9
={√(a-1)}^2-2{√(a-1)}√9 +(√9)^2
={√(a-1)-√9}^2
√{a＋8-6√(a－1)}=√{√(a-1)-√9}^2=|√(a-1)-√9|
=|3-√(a-1)|
(絶対値は√(a-1)-√9がaの値によって正負の値をとるため)
したがって
√(a＋8－6√(a－1))-√(a＋8－6√(a－1))
=3+√(a-1)-|3-√(a-1)|
a≧10のとき
=3+√(a-1)-{√(a-1)-3}=6
1≦a＜10のとき
=3+√(a-1)-{3-√(a-1)}=2√(a-1)
ですね。

回答No.3

kkkk2222

書きにくいので、３＝√９　のままにします。

P=√(a+8+6√（a-1）)-√(a+8-6√（a-1）)
　=√(a+8+2√(9（a-1）))-√(a+8-2√(9（a-1）))

　　　＜　a≧1 はすぐに判ると思うので、＞

P=√( (√(a-1)+√9)^2 )-√( (√(a-1)-√9 )^2 )

あとは、
基本的には、

√(A^2)=|A| と同じ考え方になります。

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
a=3、と想定すると、

P3=√( (√2+√9)^2 )-√( (√2-√9)^2 )
=|(√2+√9)|-|(√2-√9)|

　　　　ここで、良く知っているように、
(√2+√9)＞０　より、|(√2+√9)|= (√2+√9)
(√2-√9)＜０　より、|(√2-√9)|= -(√2-√9)
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

P=√( (√(a-1)+√9)^2 )-√( (√(a-1)-√9 )^2 )

(√(a-1)+√9)＞０ より、
　　　　　　√( (√(a-1)+√9)^2 )=√(a-1)+√9
(√(a-1)-√9 )　は正負不明で
　　　　　　√( (√(a-1)-√9 )^2 )=|√(a-1)-√9|

P=(√(a-1)+√9)-|√(a-1)-√9| となるけれど、

出題者の意図は、
＜場合分けせよ。＞だから、

（１　　a≧10　の時 P=2√9=6
（２）　1≦a＜10 の時 P=2√(a-1)
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

>>難しい問題

難しいかどうかは判りませんが、
殆んどクイズの様で、具体的に数値で試さないと間違えそうな気はします。

お礼

どうも、よくわかりました。ありがとうございました

回答No.2

osiete_kun

まず前半であるが√(a-1)があるからとりあえず
一番外の√取れば良いので(a＋8＋6√（a－1）)をなんかの２乗にすればいい。

とりあえず√（a－1）があるから
(√（a－1）+ x)(√（a－1）+ y)で後はxとy出せば良いだけ。
展開すると
(a-1) + (x√（a－1）) + (y√（a－1）) + xy
= (a-1) + (x+y)(√（a－1）) + xy
= a + (x+y)(√（a－1）) + xy - 1
あとは係数を比較するだけ
x+y = 6
xy - 1 = 8
って事で　x=y=3

√(a＋8＋6√（a－1）) = √((√（a－1）+ 3)^2)

後ろも全く同じ方法で出来るはず。
もしxとyが異う値だったら？なんて疑問は無しで。

回答No.1

abyss-sym

x＞0のとき、√(x)^2 = x
x＜0のとき、√(x)^2 = -x
ということが成り立ちます。これをまとめると、√(x)^2 = |x| と書くことができます。
この問題では、〔√(a－1)－√9〕の符号がわからないので、絶対値記号を付けています。

１つ気になったのですが、a≧0 ではなく a≧1 ではないですか？