{2+√(-121)}^(1/3) + {2-√(-121)}^(1/3) = 4

質問

数学の本を読んでいまして、

{2+√(-121)}^(1/3) + {2-√(-121)}^(1/3) = 4

といった式変形が出てきました。
ここでは(1/3)乗と書いていますが、本では√の左に３を書いて３乗根の意味です。

いわゆる二重根号と思いますが、どのようにして、変形されたのでしょうか？

回答No.4

島崎 崇（@tadopika） · ベストアンサー

与式は4だけではなく、他の実数値も取ります。
又、虚数の範囲では更に多くの値を取ります。

先ず、A=(2+11i)^(1/3) を求めてみます。
A^3=2+11i.
A=a+bi (a, bは実数)とおくと、
(a+bi)^3=2+11i より、実数部分と虚数部分を比較して、
a^3-3ab^2=2 ...[1]
3a^2-b^3=11 ...[2]
この2式から普通に計算すると大変なので、工夫します。
[1]^2+[2]^2 を計算すると
a^2+b^2=5 ...[3]
[1], [2], [3]よりa, bを求めると、
A=2+i, -1+(√3)/2+(-1/2-√3)i, -1-(√3)2+(-1/2+√3)i.

同様に、B=(2-11i)^(1/3) からBを求めると、
BはAの共役複素数になり、
B=2-i, -1+(√3)/2-(-1/2-√3)i, -1-(√3)2-(-1/2+√3)i.

よって、与式A+Bは3*3=9通りの値を取ります。
この内、実数となるのは共役複素数の組み合わせで、
4, -2+√3, -2-√3, の3通りです。

回答No.3

Tacosan

3次方程式の解の公式を使うと, 異なる 3実解を持つときにこんな形になりますねぇ. いわゆる不尽根ってやつ.
だから, 実は求められているのは a+b, aω+bω^2, aω^2+bω だったりして＞#2.

お礼

ありがとうございます。
たぶん、３人の皆様の言うことはすべて正しいと思っています。

http://ja.wikipedia.org/wiki/3%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F

にも似たようなことが書かれていますが、式変形というのは多価だったりしてややこしいですね。

回答No.2

yhposolihp

何か釈然としないので。

Ａが複素数のときは、
立方根Ａは、３個あって、
立方根Ａの絶対値は、立方根|Ａ|
ひとつの解をa1とすると、
他の二解は　a1ω、a1(ω^2) と定義されているはずです。

つまり、立方根Ａ＝Ａ^(1/3) として良い。

具体的に書くと、
(2+11i)^(1/3)の絶対値は(√125)^(1/3)=√5　。

更に、ひとつの解a1=(2+i)、b1=(2-i)より、
三解は、各々
a1=(2+i)、a2=(2+i)ω、a3=(2+i)(ω^2)
b1=(2-i)、b2=(2-i)ω、b3=(2-i)(ω^2)

まずは単純に、質問の解は９通りと思考します。
しかしながら、(2+i)と(2-i)は共役のため、
９通り全てが一致するのかなーとも思い、若干計算して見ると、

a2+b2=(2+i)ω+(2-i)ω=4ω
a3+b3=4(ω^2)

ここまでくると、
複素数平面上の図形をイメージしても一致するとは思えなくなって、
全てを吟味しようと思ったのですが、途中で挫折して式だけ書いて結論に飛びます。

a1+b2=(2+i)+(2-i)ω=・・・=( (2+√3)/2 )+i( (3+2√3)/2 )
a1+b3=(2+i)+(2-i)(ω^2)=・・・=
a2+b1=(2+i)ω+(2-i)=・・・=
a2+b3=(2+i)ω+(2-i)(ω^2)=・・・=
a3+b1=(2+i)(ω^2)+(2-i)=・・・=
a3+b2=(2+i)(ω^2)+(2-i)ω=・・・=

>>本。に記載されている、（右辺）＝４　は、

↓↓↓
便宜上ではないのかなーと。

回答No.1

abyss-sym

√(-121)=11i (iは虚数単位)だから
{2+√(-121)}^(1/3) + {2-√(-121)}^(1/3)=(2+11i)^1/3+(2-11i)^1/3
さらに、2+11i=(2+i)^3 , 2-11i=(2-i)^3 なので
(2+11i)^1/3+(2-11i)^1/3=2+i+2-i=4 となります。