集合

質問

実数aに対して集合A,Bを
A={x|(x＾2)＋(1-a＾2)x＋(a＾3)-2(a＾2)＋a≦0,xは実数}
Ｂ＝{x|(x＾2)＋(2a-7)x＋(a＾2)-7a＋10<0,xは実数}
と定める。共通部分A∩Bが空事象でないためのaの範囲を求める問題で

集合Aについて考えると
(x-a＋1)(x-(a＾2)＋a)≦0
ｘ＝a-1と(a＾2)-aの大小について考えると
a-1≦(a＾2)-a

集合Bについて考えると
(x＋a-2)(x＋a-5)<0
大小について考えると
2-a<5-a

この後どのように考えるのでしょうか？

回答No.2

kkkk2222

まず、集合の表記を捨て去ってください。何の意味もありません。趣味と言うより、悪趣味です。この問題を集合で表すのは無意味です。

（x＾2)＋(1-a＾2)x＋(a＾3)-2(a＾2)＋a≦0
(x＾2)＋(2a-7)x＋(a＾2)-7a＋10<0

この方がスッキリします。

質問の前に
（x＾2)＋(1-a＾2)x＋(a＾3)-2(a＾2)＋a≦0　の因数分解は出来たのでしょうか。もし参考書の＜ＣＯＰＹ＞ならば、この質問は意味がありません。＜場合分け＞のスレッドから見て＜ＣＯＰＹ＞としか思えません。学習は順番にやりましょう。そうしないと永遠の林間ＬＯＯＰです。

（x＾2)＋(1-a＾2)x＋(a＾3)-2(a＾2)＋a≦0　易しそうには見えません。
（Ｘ＾２）＋【１－（Ａ＾２）】Ｘ＋【（Ａ＾３）－２（Ａ＾２）＋Ａ】≦０
Ｘの係数は、このままが良いか、変形したら良いかさへ不明です。経験的に、このままの方が良いと＜感じる＞だけです。必要と＜感じた＞時始めて変形します。
（Ｘ＾２）ー【（Ａ＾２）ー１】Ｘ＋Ａ【（Ａ＾２）－２Ａ＋１】≦０
（Ｘ＾２）ー【（Ａ＾２）ー１】】Ｘ＋Ａ（Ａー１）（Ａー１）】≦０
（Ｘ＾２）ー【（Ａ＾２）ー１】】Ｘ＋（Ａ＾２－Ａ）＊（Ａー１）】≦０
書き方は（Ｘ－α）（Ｘ－β）≦０の形が基本です。
１＃　　【Ｘ－（Ａ＾２－Ａ）】【Ｘ－（Ａー１）】≦０
この形を崩すのは、必要があるときだけです。もうひとつも先にやります。

(x＾2)＋(2a-7)x＋(a＾2)-7a＋10<0
（Ｘ＾２）ー（７ー２Ａ）＋（Ａ－２）（Ａ－５）＜０
何故真ん中の項の係数を逆転させるかは説明しません。ある程度、やると＜此の方が普通と感じる＞日が来ると思います。
２＃　　【Ｘ－（ーＡ＋２）】【Ｘ－（ーＡ＋５）】＜０　これは＜ＣＯＰＹ＞で無い様におもいます。

＞＞共通部分A∩Bが空事象でないＡの範囲・・・この意味は不等号の向きから考えて、
　　　　　　　●●●●●
　　○○○●○○　　　●
ー○ーー●ーー○ーーー●ーの状態でしょう。

＞＞a-1と(a＾2)-a・・・a-1≦(a＾2)-a・・・意味が判りません、
a-1　と　(a＾2)-a　の大小関係は、場合分けしないとでません。詳しい説明は省きますが、まず、
（Ａ＾２－Ａ）≧（Ａー１）とします。
Ａ（Ａ－１）ー（Ａー１）≧０
（Ａ－１）＾２≧０
結果的には場合わけ不要ですが、始めから判るのではありません。
この式は、＜絶対不等式＞と呼ばれ、つねに成立です。
ということは、常に（Ａ＾２－Ａ）≧（Ａー１）が成立です。

＞＞(x＋a-2)(x＋a-5)<0
＞＞2-a<5-a
これはさすがに見ただけで、常に成立です。

＞＞この後どのように考えるのでしょうか？
１＃ーー（Ａー１）ー（Ａ＾２－Ａ）ーーーー
２＃ーー（ーＡ＋２）ーーー（ーＡ＋５）ーー
４式の大小関係の調査からはいります。ちょっと判りにくいです。
＜共通範囲がある＞の反対＜共通範囲がない＞でやります。

１０＃　　１＃が２＃の右にあるならば、
　　　　　　　　　　　　ーー　（Ａー１）ー（Ａ＾２－Ａ）ーー
（ーＡ＋２）ー（ーＡ＋５）ーー
（ーＡ＋５）＜（Ａー１）　ただし≦＜は最後に調節します。
６＜２Ａ、　→　　（３＜Ａ）

２０＃　　１＃が２＃の左にあるならば、
（Ａー１）ー（Ａ＾２－Ａ）ーーーー
　　　　　　　　　　　　　　（ーＡ＋２）ー（ーＡ＋５）ーー
（Ａ＾２－Ａ）＜（ーＡ＋２）
Ａ＾２ー２＜０　→　　（ー√２＜Ａ＜√２）
合わせて、ーーー（ー√２）●●√２ーー３●●

この逆が解であり
●●（ー√２）ーー√２●●３
Ａ＜（ー√２）、√２＜Ａ＜３
最後に吟味します。
Ａ＝（ー√２）の時　　　　可
Ａ＝√２の時　　　　　　可
Ａ＝３の時　　　　　　　可

修正して Ａ≦（ー√２）、√２≦Ａ≦３ （最終解）

吟味は
【Ｘ－（Ａ＾２－Ａ）】【Ｘ－（Ａー１）】≦０
【Ｘ－（ーＡ＋２）】【Ｘ－（ーＡ＋５）】＜０
に直接代入しました。

回答No.1

sanori

質問者さんの計算過程が正しいかどうかは検証しませんが、
a-1≦(a＾2)-a
2-a<5-a
としてしまうと、その後が続きません。

（あ）a-1 ≦ ｘ ≦(a＾2)-a
（い）2-a ＜ ｘ ＜5-a
この２つが重なりを持つためには、
（あ）の下限が（い）の上限より小さいこと、
（い）の下限が（あ）の上限より小さいこと、
つまり、
a-1＜5-a
2-a＜(a＾2)-a