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ベクトルの内積について…
imoproの回答
- imopro
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図を描かないと説明がしにくいんですが… まず、面倒なのでベクトルの矢印（→）はここでは書かない事を断っておきます（因みに大学ではベクトルには矢印は使わず、文字を太字にする事が多いです）。 三角形OABを適当に描いてください。∠AOB=θとします（簡単の為に0<θ<90°とします）。OAを基準に反時計回りにθを取った図形を想定しています。 次にBからOAに垂線をひき、その足をB'とします。すると、∠OB'B=90°とする直角三角形OB'Bができます。B'は直線OA上に存在し、|OB'|=|OB|cosθですね。 この時、 a・b=|a|×|b|×cosθ（"・"との混同を避ける為に"×"を使用） =|a|×|b|cosθ =|OA|×|OB'| となります（90°<θ<180°の時は-|OA|×|OB|'）。 さて、（唐突ですが）中学の理科や高校で物理を取っていれば習ったかもしれませんが、物理の用語で「仕事」というものがあります。これは「移動している方向の力の成分と移動距離との積」です。式で書けばW=F・x（w:仕事、F:力，x:移動距離）と内積で書けます。 上記の三角形において、bを力、aを移動距離と見れば、移動している方向の力の成分は|OB'|=|b|cosθです。 この場合、仕事W'は W' =(移動している方向の力の成分)×(移動距離) =|b|cosθ×|a| =|a||b|cosθ =a・b と内積を使って書けます（厳密性を無視した乱暴な書き方ですが）。 つまり、力bがかかっている場合、aの方向には実質的にどれだけ力がかかっているかというと、|b|自体ではなく、|b|cosθ=|OB'|であり、内積というものを定義する事で、仕事W'（=a・b）を簡単に表す事ができるというわけです。 この様に、内積は例えば物理における「仕事」の定義に用いられていますし、他にも様々な場面で登場します。様々な計算に便利な道具・表記と思ってくれればいいと思います。 ごちゃごちゃ書いてしまいました。もっとスマートな説明ができる方、よろしくお願いします。
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