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集合と位相の問題について
zzzzzzの回答
- zzzzzz
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記述ミスは指摘しても意味がないと思いますので、自分で確認してください。 内容に関しては、最初のところで >直感的に任意個数の閉集合の積集合は閉集合になるという性質から と書かれていますが、B_nたちは閉集合ではないので、この直観は当てはまりません。 が、解答の論理は完全です。 開区間の積を取っているのに、無限積であるために、結果が開集合にならない、ということが起こる例です。 例示した I=(0,1)とすると、I=Ｕ_x∈I {x} というのは、閉集合の和でも、無限和であれば閉集合にならないこともある、という例です。 この場合、１点だけからなる閉集合{x}の、無限和（連続濃度）を考えています。 (Iに属する全てのxについて、{x}を足しあげています) これと類似の議論をすれば、１点からなる集合{x}がいつも閉集合であるような位相空間（T1空間と言います)では、 どんな部分集合も閉集合の和として表せることが分かりますので、 閉集合の無限和が閉集合にならない、という事態はそれほどレアではない、ということが分かります。
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お礼
本当に何度も何度も親切な解説をしていただきありがとうございました。なんとなく理解できた気がします。あとは以前に言われたように問題演習を重ねて位相の真意に接していきたいと思います。本当にありがとうございました。また機会があれば御指導御鞭撻のほど御願いします。