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命題「Y⊂X:Txを位相とする位相空間の時、X:Hausdorff⇒Y:Hausdorff」
『位相空間(X,T)がHausdorff空間 ⇔ X∋∀x,y:相異なる, ∃S1,S2 such that S1∈NS(x,T),S2∈NS(y,T),S1∩S2=φ NS(x,T):={S∈T;x∈S}:近傍系』 という定義の元に 命題 「Y⊂X:Txを位相とする位相空間 の時、 X:Hausdorff⇒Y:Hausdorff」 を示したいのです。 これは厳密に述べると 「XがHaudorff空間をなすならばYも独自の位相Tyを持ち、位相空間(Y,Ty)は 『Y∋∀x,y:相異なる, ∃S1,S2 such that S1∈NS(x,Ty),S2∈NS(y,Ty),S1∩S2=φ NS(x,Ty):={S∈Ty;x∈S}』をなす」 という事ですよね。 で、実際に示してみますと もし、Y=φの時は勿論、Y:Hausdorff Y≠φの時は Y∋∀x1,x2:相異なる ∃S1∈NS(x1,Tx),S2∈NS(x2,Tx) such that S1∩S2=φ S1':=S1/Y,S2':=S2/Yと置くと、S1'∩S2'=φ 、、、とここまでは分かるのですが 更に S1',S2'∈Ty(:集合Yにおける位相) でなければHausdorff空間をなしませんよね。 Tyはどのように定義すればいいのでしょうか?
- cchisako
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>S1':=S1/Y,S2':=S2/Yと置くと、S1'∩S2'=φ S1/Y とか S2/Y って何ですか？ スラッシュの意味です それと，位相空間Xの部分集合Yに位相をいれる方法は ご存知ですか？ 「相対位相」をご存知ですか？ >Yも独自の位相Tyを持ち、 この「独自の位相」が問題です． おおもとのXと全く関係ない位相をYにいれたら XがHausdorffでもYはそうなるとは限りません． 例：R：普通の実数（距離による位相をいれる） 区間I=[0,1]：一番粗い位相（Iそのものと空集合だけの位相）をいれる IはRの部分集合，RはHausdorff，Iには「独自の位相」があるが IはHausdorffではない．
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- totoro7683
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Yにどのような位相を入れるかはYが与えられると決まるわけではなく、 自分で決めなければなりません。 この問題の場合はYに相対位相を入れるのが自然です。 そうするとYはハウスドルフになります。 （位相の入れ方によってはなりません） 相対位相とはYの開集合系をTY＝｛S∩Y|S∈TX} と定めます。TYが開集合系の公理を満たすことは簡単に確かめられます。 そうすると質問文中のS1':=S1∩Y、S2'=S2∩Y (/は∩の間違いですね？）は定義によりYの開集合になり、Yはハウスドルフになります。
お礼
有難うございました。 お陰様で大変参考になりました。
補足
S1':=S1/Y は S1':=S1＼Y (差集合) の意味で書きました。 失礼致しました。
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