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ラングレー問題の角度の問題を補助線なしで解く方法
- ラングレー問題は角度の問題の一般化であり、補助線を使用せずに解く方法を知りたいです。
- チェバの定理を用いて、ΔABCの内部にPをとり、各頂点からPに線を引いて対辺を分割すると、辺の分割比が分かる関係が成り立ちます。
- 同様に、ΔABCの内部にPをとり、各頂点からPに線を引いて頂点の角度を分割すると、角度の分割比が求まります。具体的な計算方法や関係式について知りたいです。
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- stomachman
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△ABCにおいて、辺AB、BC、CAのそれぞれをs:tに内分する点をそれぞれP、Q、Rとします。 このとき△ABCと△PQRの面積比を求めるという問題です。 平面幾何の問題ですが、ベクトルで考えた方がわかりやすかったのでベクトルで計算して △PQR=(s^2+t^2-st)/(s+t)^2×△ABC であることは求めました。 しかし、直感では△ABC∽△QRPのような気もするし、どこかに補助線引っ張ったらチェバの定理か何かの定理を使って求められそうな気もします。この問題を考える際に皆さんならどうやって考えるか教えていただきたいのですが。(できれば補助線を引っ張るような幾何の考え方を期待しています)よろしくお願いします。
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補足
>これはすなわち「チェバの定理が成り立つような空間」というものを考える訳です。 ユークリッド空間の点は無限個ありますが、有限個の点のみでユークリッド幾何を構成しようとしている本を見たことがあります。そのとき、チェバの定理で使われるような図が載っていたような。 有理数において、 a/b=c/d⇔ad=bc のと同様に、三角形を使った座標において、チェバの定理はルールみたいなものですから、「チェバの定理が成り立つような空間」も意義はありそうですね。 10年前に射影幾何の本を読んで、今はほぼ忘れてますが、共点(複数の直線が同一の点で交わってる)とか共線(複数の点が同一の線上にある)といったことを扱っていました。そして、異なる2点で一つの直線が定まるように、異なる2直線で一つの点を定めたいために、つまり、平行な線でも1点で交わるように、 (ユークリッド空間ではなく)射影空間を考えてました。 「チェバの定理が成り立つような空間」はむしろその射影空間に近いような。 そういえば、射影空間では、x軸とy軸と無限遠直線をかいたりしますが、それはまさに三角形だし。 >また、ある空間に対してisomorphismで写る双対空間を考えて、両者を同時に扱う幾何学も考えられます。 うまく双対空間を考えれば、チェバの定理の双対をメネラウスの定理として捉えることもできそうですね。 チェバの定理を「点の座標の間の関係式」とみるのと同様に、メネラウスの定理は「直線の座標の間の関係式」とみなせますね。 >もし原論なんて廃れたと仰るのであれば、初等幾何学も廃れたのであり、 たとえば、数直線。 いろいろな捉え方があるとは思いますが、僕はそれを実数と捉えて、代数的に構成していくのが主流と思っていました。 そして、平面内の直線とは、R^2のax+by+c=0を意味する。 直線を公理的に捉えるのは僕の経験上あまりみかけない、というだけでして。 それと初等幾何学の教科書での取り扱いが一時期削減されたのもあるし。 それはおいといて、チェバの定理の類似をまた考えました。 チェバの定理:「三角形ABC内にPがあり、APとBCとの交点をEとする。すると、辺BCはEで分割されるが、BE/ECを分割比と仮に呼ぶとする。すると、3種類の分割比ができるが、積は1」 その類似:「円周上に三点A,B,C、三角形内にPがあり、APと孤BCとの交点をEとする。すると、孤BCはEで分割されるが、∠BEA-∠AECを分割差と仮に呼ぶとする。すると、3種類の分割差ができるが、和は0」 いろいろな類似、まとまりもなくなってきました。