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kony0の回答
- kony0
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うさんくさい解法ですが、中学生レベルの解法を示します。 まず△ABCで∠Bの2等分線と比の関係より、BA:BC=AD:CD...(1) ここで、辺BC上にBD=BD'となる点D'をとると、仮定よりD'C=AD...(2)となる。 (2)とAB=ACを(1)に代入してAC:BC=D'C:CD...(3) △CABと△CD'Dにおいて、 角C共通, CA:CD'=CB:CD((3)で比の内項を入れ替えたもの) より△CAB∽△CD'Dとなり、即ち△CD'DはD'C=D'Dの2等辺三角形である。 ここで、∠ABD=∠DBC=aとおくと、∠C=2a(△ABC2等辺) ∠BDA=∠BCD+∠CBD(△BCDの内角と外角の関係)=3a また、∠D'DC=∠C(△CD'D2等辺)=2a, ∠DD'B=∠DCD'+∠CDD'=4a あと、点D'の取り方から△BDD'も2等辺△で、∠BDD'=∠BD'D=4a よって、∠ADB+∠BDD'+∠D'BC=3a+4a+2a=9a=180度よりa=20度 ということで角度が求められます。 私ははじめBDをDの方向にAD分だけ延長した点Pをとって、△BCP, △DAPの2等辺を用いることを考えていたのですが、#3のb_blackさんのヒントを見てから、結局D'D=D'Cを言うことがこの問題の本質であると考え、試行錯誤ののち相似の解法にたどりつきました。(このあたりで答えがある程度わかっていての「決め打ち」解法なのですが) ちなみに、このD'D=D'Cを言うのは、たぶんそんなに簡単ではないような気がします。 さらにいい解法があるのかもしれませんが、三角定規の角度じゃないだけに、なんらかの形で合同や相似とかを用いて解いていく必要があるのは間違いないと思っています。
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