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微分・積分について

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  • 質問No.223521
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お礼率 19% (16/83)

x^2+y^2+z^2=1のとき、xy+yz+zxの極値を求める方法を教えてください。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.5
レベル5

ベストアンサー率 66% (2/3)

x=y=z=1/√3で最大値1になる所が分かりません⇒

x・y+y・z+z・x=x^2+y^2+z^2-((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)/2
より
f=1-((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)/2
従ってx=y=zのときfは最大値1をとらないかい?
それにx=y=zならば
x^2+y^2+z^2=1より3・x^2=1だからx=±1/√(3)
ではないかい?
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その他の回答 (全6件)

  • 回答No.2
レベル5

ベストアンサー率 66% (2/3)

x・y+y・z+z・x=x^2+y^2+z^2-((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)/2 より f=1-((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)/2 No.1の結果を利用させて貰うと f=((x+y+z))^2)/2 -1/2=1-((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)/2 fはx+y+z=0で最小値-0.5、x=y=z=1/√3で最大値1 ...続きを読む
x・y+y・z+z・x=x^2+y^2+z^2-((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)/2
より
f=1-((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)/2
No.1の結果を利用させて貰うと
f=((x+y+z))^2)/2 -1/2=1-((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)/2
fはx+y+z=0で最小値-0.5、x=y=z=1/√3で最大値1

本当はラグランジュの乗数法を使うべきだと思うよ
λを未定乗数として
F=x・y+y・z+z・x-λ・(x^2+y^2+z^2-1)として
∂F/∂x=∂F/∂y=∂F/∂z=∂F/∂λ=0
より
λ=1またはx+y+z=0である
λ=1のときはx=y=z=1/√(3)である
そうするといっぺんに答えが出るだろう
補足コメント
river-s

お礼率 19% (16/83)

x+y+z=0のとき、最小値―0.5というのは分かりましまた。
しかし、その後のx=y=z=1/√3で最大値1になる所が
分かりません。何故、1/√3が出てくるのかなど。
本当に申し訳ありませんが、教えてもらえないでしょうか。
投稿日時 - 2002-02-24 12:13:56

  • 回答No.1
レベル7

ベストアンサー率 50% (2/4)

f=xy+yz+zx とする. (x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx)       = 1 + 2f f=((x+y+z))^2)/2 -1/2 第一項は二乗であるからx,y,zが実数であれば常に>=0 fの極値は従って=0の時.すなわちx+y+z=0の時で,極値は-1/2となる.
f=xy+yz+zx
とする.

(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx)
      = 1 + 2f
f=((x+y+z))^2)/2 -1/2
第一項は二乗であるからx,y,zが実数であれば常に>=0
fの極値は従って=0の時.すなわちx+y+z=0の時で,極値は-1/2となる.
  • 回答No.3
レベル5

ベストアンサー率 66% (2/3)

x=y=z=±1/√3で最大値1 x+y+z=0で最小値-0.5 の間違いでした つまり±を付けなかったようですね
x=y=z=±1/√3で最大値1
x+y+z=0で最小値-0.5
の間違いでした
つまり±を付けなかったようですね
  • 回答No.4
レベル7

ベストアンサー率 50% (2/4)

No1は片方の解答しか考えていない片手落ちでした.取り下げます.
No1は片方の解答しか考えていない片手落ちでした.取り下げます.
  • 回答No.6
レベル5

ベストアンサー率 66% (2/3)

Rを実数全体の集合としDをR^3の連結な開集合とする 連結:開集合が共通点を持たない2つの開集合に分割できないとき前記開集合は連結されているという 極小値の定義: f(x,y,z)とg(x,y,z)はDで定義されたC^1級の実数値関数であり (x0,y0,z0)∈Dであり U(x0,y0,z0)⊂Dは(x0,y0,z0)の近傍であり g(x0,y0,z0)=0であり ( ...続きを読む
Rを実数全体の集合としDをR^3の連結な開集合とする

連結:開集合が共通点を持たない2つの開集合に分割できないとき前記開集合は連結されているという

極小値の定義:
f(x,y,z)とg(x,y,z)はDで定義されたC^1級の実数値関数であり
(x0,y0,z0)∈Dであり
U(x0,y0,z0)⊂Dは(x0,y0,z0)の近傍であり
g(x0,y0,z0)=0であり
(x,y,z)∈U(x0,y0,z0)かつg(x,y,z)=0である限り
f(x0,y0,z0)≦f(x,y,z)であるU(x0,y0,z0)が存在するとき
f(x,y,z)は(x,y,z)=(x0,y0,z0)においてg(x,y,z)=0という付帯条件の下で極小値をとるという

極大値の定義:
f(x,y,z)とg(x,y,z)はDで定義されたC^1級の実数値関数であり
(x0,y0,z0)∈Dであり
U(x0,y0,z0)⊂Dは(x0,y0,z0)の近傍であり
g(x0,y0,z0)=0であり
(x,y,z)∈U(x0,y0,z0)かつg(x,y,z)=0である限り
f(x,y,z)≦f(x0,y0,z0)であるU(x0,y0,z0)が存在するとき
f(x,y,z)は(x,y,z)=(x0,y0,z0)においてg(x,y,z)=0という付帯条件の下で極大値をとるという

ラグランジュの乗数法:
f(x,y,z)とg(x,y,z)はDで定義されたC^1級の実数値関数であり
∂g(x,y,z)/∂x,∂g(x,y,z)/∂y,∂g(x,y,z)/∂zが同時に0である(x,y,z)∈Dが存在しないとする
f(x,y,z)が(x,y,z)=(x0,y0,z0)においてg(x,y,z)=0という付帯条件の下で極大値または極小値をとるならば
∂f(x0,y0,z0)/∂x-λ・∂g(x0,y0,z0)/∂x=0かつ
∂f(x0,y0,z0)/∂y-λ・∂g(x0,y0,z0)/∂y=0かつ
∂f(x0,y0,z0)/∂z-λ・∂g(x0,y0,z0)/∂z=0
である実数λが存在する

すなわちラグランジュの乗数法におけるλの存在はあくまでもfが極値を取るための必要条件であり十分条件でない

従って極値を求める手順として有力な手順を示すと
(1)
ラグランジュの乗数法でfの極値の候補をすべて求める
(2)
その候補が本当に極値であるかどうかを吟味する

前記手順において十分条件を満たすかどうかを確認するNo.1とNo.3の前半の議論が利用される
従って決して取り下げてはならない
  • 回答No.7
レベル13

ベストアンサー率 61% (647/1050)

    ヴェクトルの回転とか考えていたのですが、一般的問題はともかく、この問題では、そんな複雑な話は無用だという結論に達しました。従って、この問題を解くのに、必要以上に複雑な考え方は、間違いではないとしても、適切でないことになります。     x^2+y^2+z^2=1 というのは、三次元の球の式で、半径が1です。     他方、xy+yz+zx は、ヴェクトル(x,y,z)と(y,z,x)の内 ...続きを読む
 
  ヴェクトルの回転とか考えていたのですが、一般的問題はともかく、この問題では、そんな複雑な話は無用だという結論に達しました。従って、この問題を解くのに、必要以上に複雑な考え方は、間違いではないとしても、適切でないことになります。
 
  x^2+y^2+z^2=1 というのは、三次元の球の式で、半径が1です。
 
  他方、xy+yz+zx は、ヴェクトル(x,y,z)と(y,z,x)の内積だと考えられます。この二つのヴェクトルA=(x,y,z)とB=(y,z,x) 共に、原点から球上の一点へと向かう単位ヴェクトルです。
 
  f=xy+yz+zx=A・B は、AとBが、球面上の一点で定義されている単位ヴェクトルであることからすると、最大値は、1であることは明白です。また、x,y,zもfも連続量であることを考えると、これが極値であることも明白です。
 
  AとBのような条件の与えられた二つのヴェクトルの内積が1になるというのは、AとBが同じヴェクトルの場合以外にありえません。(違うヴェクトルだと、内積は1より小さくなることは自明だからです)すると、x=y, y=z, z=x となります。つまり、x=y=z です。(x,y,z) が半径1の球面を定義する場合、明らかに、x^2+y^2+z^2=3x^2=1 で、x=+/-(√3)/3=y=z
 
  これで回答になります。(微分などは使っていませんが、連続量関数の連続変化で、最大値がある場合は、これが極値であるということを使っています)。
 
  回答は、最大極値は x=y=z=+/-(√3)/3
 
  他方、最小極致は、(x+y+z)^2-1=2f から、
  fが最小になるのは、明らかに、x+y+z=0 の場合で、この時 f=-1/2
  この値がfの極小値ということも、fが連続量で、x,x z も連続量であることから自明。
 
  中間の極値があるかないかは、(x+y+z)^2 の全微分を取ると、
  2(x+y+z)(dx+dz+dy) となり、これがゼロになるのは、すでに述べた、極大値と極小値のケースで、それ以外に全微分がゼロになるケースはないので、極値は以上に述べた極大値と極小値のみ(つまり、(x+y+z)=0か、(dx+dz+dy)=0で、後者は、dx=dy=dz=0 で、こうなるのは、x=y=z の場合だけ。ここまで考えてしまうと、すでに出ている答えと同じことになってしまいますが。……(dx+dz+dy)=0というのは、増分の係数次第で、-dx などもありえるが、すでに係数をまとめて外しているので、増分の合計ゼロとは、増分がゼロのことで、x,y,z,は、球面上の点という束縛はあっても自由な変数であるので、その増分が同じ値=ゼロになるのは、三変数が独立変数でなく、増分も同じ、即ち、x=y=z となるのです。……厳密性に欠けるし、少しも簡単でないですね)。
 
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