• ベストアンサー

cos(有理数*2π)=有理数となるのはどういったときですか

springsideの回答

回答No.1

今月号(7月号)の「数学セミナー」の「エレガントな解答を求む」に同じような問題が出題されています。 解答が掲載されるのはかなり先(9月号か10月号?)ですが、それを読めばほぼ解決されるのではないでしょうか。

aiueo95240
質問者

お礼

ありがとうございます。 となると、けっこうレベル高そうですね。

関連するQ&A

  • cos(有理数*π)=有理数、などについてお尋ね(長文)

    先日、「cos(有理数*2π)=有理数となるのはどういったときか」 http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2212683 という質問に、親切なご回答を頂きました(感謝です)。 結果だけをまとめますと、 「mとnを互いに素な自然数とする。 cos{(m/n)π}が有理数となる⇔n=1,2,3 sin{(m/n)π}が有理数となる⇔n=1,2,6 tan{(m/n)π}が有理数となる⇔n=1,2」 ここで、新たに疑問が浮かびます。 http://www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_prob_analy.htm の問題177で、 「a(但し、0<a<1/4とする。)を有理数とする時、tan(aπ)は無理数である。」 がGaussの整数環がPIDで有る事を使えば、容易に証明出来るとあります。 (僕が考えた証明、多分不備あり。) tan(aπ)が有理数とすると、 tan(aπ)=y/x(x,yは互いに素な自然数)とかける。 Gaussの整数x+iyを考えると、原点との線分がx軸とのなす角度は、 arg(x+iy)=aπ 有理数a=p/qとして、Gaussの整数x+iyをq乗すると、 arg(x+iy)^q=aπ*q=pπ つまり、 (x+iy)^q=実数 http://members.ld.infoseek.co.jp/aozora_m/suuronN/node57.html に書かれていることから、両辺を因数分解すると、単数倍の違いを除いて一意的。 右辺が奇素数を因数に持つとき、上記サイトの定理40より、 それはガウス素数か、(a+bi)(a-bi)の形になるが、左辺はそれを因数にもたないから不適。 右辺が2を因数に持つとき、上記サイトの定理40の上のコメントより、 それは単数倍の違いを除いて2=(1+i)(1-i)なので、左辺は、x+iy=1+iなどの場合に限られる。 このとき、0<a<1/4では、tan(aπ)=y/x=1に矛盾。証明終わり。 この問題は、aを有理数とするとき、tan(aπ)も有理数であるのは、a=整数or奇数/4と主張しています。 これを使って、Gaussの整数の観点から、cos(aπ)が有理数である条件を求めれないでしょうか?

  • 三角関数の有理性(cosθ)

    度数表記の自然数の角度について cosθが有理数になるθを調べています。 おそらく、cos(60°+360°×n)のみ有理数となると考えています。 (この事実ではなく、証明方法に関心があります。) 教えて頂きたいのは、 ・以下の議論に間違いがないか ・cos100°(またはcos80°)が有理数か無理数か ・他に、cos60°のみが有理数であることを示す方法はないか です。 以下、とても長くなります。 時間がありましたらよろしくお願いします。 2倍角の公式cos(2θ)=2(cosθ)^2-1から 【補題A】---------------------------------- cosθが有理数⇒cos(nθ)が有理数(nは自然数) -------------------------------------------- であることがわかります。この補題の対偶を考えることにより 【定理B】---------------------------------- 自然数の角度θに対して、 cosθが無理数⇒θの約数αに対してcosαは無理数 -------------------------------------------- が成り立ちます。 さらに、 cos(180°+ θ)=-cosθ、 cos(180°- θ)=-cosθ より、調べるθは1°~89°までで良いことがわかります。 また、cos(180°-θ )とcosθの有理性が一致することもわかります。 cos(-θ)=cosθより、cos(-θ)とcosθの有理性も一致します。 さて、cos72°が無理数であることがわかっています。 定理Bより、cos36°も無理数です。 すると、 cos(180°×n + 36°)=cos36°(5n + 1) cos(180°×n - 36°)=cos36°(5n - 1) cos(180°×n + 72°)=cos36°(5n + 2) cos(180°×n - 72°)=cos36°(5n - 2) の4つの式の左辺の値は無理数なので、定理Bより、 cos(5n±1)°、coscos(5n±2)°は無理数です。 【補題C】---------------------------------- 自然数の角度θに対して、 cosθが有理数⇒θは5の倍数 -------------------------------------------- 同様の考え方より、 cos45°が無理数であることがわかっているので、 cos(180°×n + 45°)=cos45°(4n + 1) cos(180°×n - 45°)=cos45°(4n - 1) より、奇数θについては、cosθが無理数であることがわかります。 【補題D】---------------------------------- 自然数の角度θに対して、 cosθが有理数⇒θは2の倍数 -------------------------------------------- 補題Cと補題Dから 以降調べる必要がある角度10°の倍角、 10°、20°、30°、40°、50°、60°、70°、80° であり、特に、30°と60°についてはそれぞれcosの値がわかっています。(cos60°は有理数、cos30°は無理数) そこで、10°、20°、40°、50°、70°、80° について調べます。 この6つの角度の最小公倍数(公倍角というべき?)は 2800°で、2800°≡100°(mod 180°)です。 そこで、cos100°またはcos80°が無理数であることが示せれば、 cos2800°は無理数であることがわかり、 定理Bから、10°、20°、40°、50°、70°、80° も無理数となります。 これで目標が示せると思うのですが、 cos100°の値を求める方法がわかりません。 cos150°が無理数であることがわかっているので、 定理Bよりcos50°やcos10°も無理数ですので、 10°、20°、40°、50°、70°、80°から cos10°、cos50°を除いて同様に考えると、 cos560°≡cos20°に帰着されますが、 今後はcos20°でつまづいてしまいます。 また、例えば、 仮に、89!/60を180で割った余りωが求められれば、 定理Bからcosωについて無理数であることを示すだけでよい(ωを求めることの方が難しい?)ように、その他のアプローチ方法も発見できれば嬉しいです。 以前、tanに関する同様の問題についてアドバイスを頂き、 とても参考になりました。その考え方を参考にしながら、 今度はcosについて考えているのですが、 あと一歩のところで辿りつけないでいます。

  • 三角関数の証明(有理数であること等)

    m,nは自然数、0≦θ<2πとする。 (1)cosθ、sinθがともに有理数ならば、cosmθ、sinnθはともに有理数となることを示せ。 (2)cosθ=(n^2-1)/(n^2+1)、sinθ=2n/(n^2+1)ならば、θ<π/nとなることを示せ。 無理数の証明のときに背理法を使ってうまくいくことが多かったので、同様にやってみようと思ったのですが「無理数と仮定する」ということが数式で表せずだめでした。(2)はtanθ/2=nとおいてcosθ、sinθを作る式に非常に似ているのですがそのことは利用できるのでしょうか? ヒントをいただけると助かります。よろしくお願いします

  • 無理数と有理数の証明

    √2が無理数であることは既知とし、√2+√3が無理数であることを次のように証明した。 まず、p=√2+√3、q=√2ー√3とする。 (1)pq=-1は有理数であるから、もしpが有理数ならqも有理数である。 (2)同様にqが有理数ならpもまた有理数である。 (3)またp+q=2√2は有理数ではないからpが有理数ならqは有理数ではない。 (4)よってqを有理数と仮定しても有理数でないと仮定してもpは有理数である。 (5)それゆえpうぃ有理数と仮定すると矛盾が生じる。 異常によりpは無理数である。 上の証明で不要と思われる文章を教えて下さい。 頭が混乱してさっぱり分かりません。 ご教示いただけますと助かります。

  • 有理数

    p/(√2-1)+q/√2=1 を満たす有理数p、qはどうやって求めればいいのですか?

  • 代数の問題を教えてください。

    代数の問題を教えてください。 1.√2+√5を根に持つ有理数係数の4次多項式を求めよ 2.√2+√3+√5を根に持つ有理数係数の8次多項式を求めよ 3.aを有理数とする。1/(a+√2+√3)の分母を有理化せよ。 よろしくお願いします。

  • P、qは有理数とする。√2 が無理数であること用い

    P、qは有理数とする。√2 が無理数であること用いて次の命題を証明せよ。 P+q√2=0 => P=q=0 全くわかりません。教えてください。

  • (x,y)に有理数があるかどうか

    x,yを実数としたとき(x<y)、区間(x,y)に有理数があることをしめすという教科書の問題を模範解答とは違う方法でやってみたので、間違ってるところを指摘もらえますか?よろしくお願いします。 有理数は上にも下にも有界でないので、p<x<y<qとなる有理数p、qが存在する。 1. (p+q)/2∈(x,y)ならば終了 2. そうじゃない場合 a) y<(p+q)/2 ならば (p+q)/2=q_1とし p<x<y<q_1 b) (p+q)/2<x ならば p_1=(p+q)/2とし (p_1)<x<y<q と区間を狭めていく。 そこからまた 不等式の両端を平均して、、、というのをくりかえす 有理数足す有理数÷2は有理数。 y-xは無限大や無限小ではないので、 有限回のうちに区間(x,y)に平均値を持つような有理数が出てくる といった感じでしめせてますでしょうか。。。?

  • 「有理化」という言葉の適用範囲

    「有理化」という言葉の適用範囲 例えば↓の「複素数の有理化」のような表現がありますね。 http://www.eonet.ne.jp/~hidarite/ce/math01.html 分母自体は実数になっただけで、有理数になったのかどうかはわかりません。 また、分母または分子に「a+√b」や「1+cosθ」があったとき 分母と分子に「a-√b」や「1-cosθ」を掛けることも「有理化」と呼ぶ人がいますが (a^2-b^2)や(sinθ)^2が有理数でない場合にも使っているように思います。 教育現場などで使われている誤用だと考えてよいのでしょうか? 代わりにこれらをひっくるめた適当な呼び方はありますか?

  • 数学A 等式を満たす有理数

    次の等式を満たす有理数p,qの値を求めよ。 1+√5p+(3-2√5)q=0 全く分かりません(泣) ヒントに a,bが有理数、√cが無理数のとき、a+b√c=0ならa=b=0 ってあるんですがこれをどうにかして利用するんでしょうか… よろしくお願いします。