二つの解をもち、異符号のとき

質問

高校二年生で数IIをやっています。実数解の符号についておしえてください。

まず、自分が理解してるところまで説明します。

二つの解と、二つの異なる実数の意味の違いについては理解しています。
「二つの異なる実数解」のときはD＞０ですよね。
「二つの実数解」のときは重解を含むのでD≧０ですよね。

ここで、教科書に

二つの実数解をもつとき（D≧０）のときに、α、βが異符号ならばαβ＞０

とかいてあったのですが、異符号のときに重解になるときってありませんよね？？たとえば、－２と２は異符号ですが、これらが重解になるって一体どういう状態なんでしょう？？だから、αβが異符号のときはいつでもD＞０であると思うんですが、わたしの考えだと教科書がうそってことですか？わたしはなにか勘違いをしていますか？

質問がわかりづらくてすみません。
ようは

「教科書にかいてあった、二つの実数解（D≧０）のとき、異符号となるのはおかしいんじゃないか」ということです。異なる二つの実数解のとき（D＞０）のときにかぎらず、異符号の場合に関してははD＞０では？
というものです。

どうかご理解してください＞＜よろしくおねがいします。

回答No.2

take008

「Ｄ≧０ のとき α、βが異符号 ならば αβ＜０」
がウソ，すなわち成り立たない，と思うわけですね。

「ｐ のとき ｑ」（「ｐ ならば ｑ」と同じ）が成り立たないのは
「ｐ なのに ｑでない」（「ｐ かつ ｑでない」と同じ）ということです。

「Ｄ≧０ のとき α、βが異符号 ならば αβ＜０」が成り立たないのは
「Ｄ≧０ かつ『α、βが異符号 ならば αβ＜０』でない」ということで，また
「Ｄ≧０ かつ『α、βが異符号 かつ αβ＜０でない』」ということで，さらにまた
「Ｄ≧０ かつ α、βが異符号 かつ αβ＜０でない」ということです。
こんなことないでしょう。

「α,βが異符号 ならば Ｄ＞０」なので「Ｄ≧０」の「Ｄ＝０」はなくてもいいけれども，あってはいけないわけではありません。
「なくてもいいものをどうしてつけるのか？」 と疑問はまだ解消しませんね。

「α、βが異符号 かつ αβ＜０でない」のはどういうときかというと，
α＝＋2ｉ，β＝－2ｉ ⇒ αβ＝4＞０
α＝＋(1＋ｉ)，β＝－(1＋ｉ) ⇒ αβ＝－2ｉ 大小関係は考えられない
のように虚数のとき，すなわち Ｄ＜０ のときなのです。
ウソにならない範囲でなるべく広くしておきたいから，「Ｄ≧０」としているのです。

補足

とても数学的で丁寧な説明、ありがとうございます。自分の中でわかりそうなかんじがするのですが、全体のつながりがよく見えていないので（すみません読解力不足です）take008さんのしてくださった回答の内容を、自分の言葉でさせてもらいますので、あっているかどうか確認、補足への回答お願いします。

まず、

「Ｄ≧０ のとき α、βが異符号 ならば αβ＜０」

というのは、わたしの疑問点をきちんとした命題にしてくれたのですよね。

そして、

＞「ｐ のとき ｑ」（「ｐ ならば ｑ」と同じ）が成り立たないのは
「ｐ なのに ｑでない」（「ｐ かつ ｑでない」と同じ）ということです。

「Ｄ≧０ のとき α、βが異符号 ならば αβ＜０」が成り立たないのは
「Ｄ≧０ かつ『α、βが異符号 ならば αβ＜０』でない」ということで，また
「Ｄ≧０ かつ『α、βが異符号 かつ αβ＜０でない』」ということで，さらにまた
「Ｄ≧０ かつ α、βが異符号 かつ αβ＜０でない」ということです。

この説明は、わたしの疑問に思った命題を数学的に説明すると矛盾が生じるということですよね。つまりこれではD＞０のときにもα、βが成り立たないことになるわけですね？

＞「α,βが異符号 ならば Ｄ＞０」なので「Ｄ≧０」の「Ｄ＝０」はなくてもいいけれども，あってはいけないわけではありません。
「なくてもいいものをどうしてつけるのか？」 と疑問はまだ解消しませんね。

矛盾が生じるので、D≧０のときにαβは成り立つということになりますが、どうしてD＝０はなくてもいいのにつけるのか、ということですよね。そうです、そこが疑問です。

＞「α、βが異符号 かつ αβ＜０でない」のはどういうときかというと，
α＝＋2ｉ，β＝－2ｉ ⇒ αβ＝4＞０
α＝＋(1＋ｉ)，β＝－(1＋ｉ) ⇒ αβ＝－2ｉ 大小関係は考えられない
のように虚数のとき，すなわち Ｄ＜０ のときなのです。

「α、βが異符号 かつ αβ＜０でない」のは、αβが０より大きくなるとき。また、大小関係を考えない虚数のとき。ということですよね。ここまで何を言っているのかわかります。

最後の

＞ウソにならない範囲でなるべく広くしておきたいから，「Ｄ≧０」としているのです。

この説明で納得できそうだったのですが、ウソにならないとはどのようなことでしょうか？D＝０を入れなくていいのに入れてる理由は、どの部分にかかれているのでしょう？前の文章とのつながりが理解できませんでした；すみません。補足への回答、よろしくお願いします。