- 締切済み
パラドックスについてデス。
uyama33の回答
- uyama33
- ベストアンサー率30% (137/450)
p36 Introduction to metamathematics s.c.Kleene 東京大学出版会 をお勧めします。 パラドックスが いろいろ書いてあります。
関連するQ&A
- ラッセルのパラドックスと公理的集合論
当方、数学についてはシロウトですが、お許しください。 集合論関係の本を読んでいてどうしてもわからないことがありまして。 ラッセルのパラドックスというのがありますよね。 このパラドックス自体は飲み込めたつもりですし、そういった類のパラドックスを避けるために公理系を整備するという発想も、まあ判る気がします。 が、例えばZF公理系ならば、どうしてラッセルのパラドックスが回避可能なのかがよくわからないのです。外延性公理から正則性公理まで眺めてみても、なぜこの公理系を採用すればパラドックスが起きないのかピンときません。 どなたかお詳しい方、解説をお願いできませんでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 集合論についての質問です
集合論には大きく分けて素朴集合論と公理的集合論があることを知りました。 今大学生なのですが、工学部なのでそこまで詳しい解説は４年生になっても多分しません。 なので、数理学科が学ぶようなとても厳密なお話にはついていけないと思いますので、簡単に教えていただければと思います。 公理的集合論での「公理」とは、「これこれこういう集まりじゃなきゃいけませんよ」というような、集合とはどのようなものかを定義するものということでいいのでしょうか？ いいかえるならば、素朴集合論において、パラドックスが発生したときに用いていた集合を排除するための規則ということでいいのでしょうか？ 公理的集合論とは、素朴集合論においてパラドックスが発生してしまうような集合をとりのぞくいろいろな規則を導入して、パラドックスが発生しないようにした集合論ということですね。 また、高校や大学で集合を扱う時は、集合の定義で「ある条件に当てはまるか当てはまらないかが明確に決まるものの集まりとする」として、たとえば、「背の大きなクラスメートの集まりは集合とはしない」と説明されましたが、この時の背の大きなクラスメートの集まりが集合としないのは公理的集合論の理論を用いているのでしょうか？ それともそれ以前の大前提のことをただ単に明示しているだけで、素朴、公理的、を語る以前のことという捉え方でいいのでしょうか？ 全体的に分かりにくい文章で申し訳ありません。 よろしければ回答お願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- パラドックス
前から不思議に思って気になっていたんですが、 みなさんも知っている方が多いと思いますがこういうパラドックスがあります。ゼノンのパラドックスというそうです。 あるところにアキレスと亀がいて、二人は徒競走をすることとなった。しかしアキレスの方が足が速いのは明らかいくらか進んだ地点（地点 A とする）からスタートすることとなった。 スタート後、アキレスが地点 A に達した時には亀はアキレスがそこに達するまでの時間分先に進んでいる（地点 B）。アキレスが今度は地点 B に達したときには亀はまたその時間分先へ進む（地点 C）。同様にアキレスが地点 C の時には亀はさらにその先にいることになる。この考えはいくらでも続けることができ、結果、いつまでたってもアキレスは亀に追いつけないことになる。 というものですが、これは理論上のみで実際にはありえないことなのでしょうか？多分実際にそんなことはないのでそうだと思いますが・・・ これについて意見をおきかせください。 バカらしい質問かもしれませんが・・・。
- 締切済み
- 数学・算数
- "領域"と"素朴集合論の集合"は同じ概念?
最近,公理的集合論を勉強しております。 高校の時から今まで何気なく使用していた集合では矛盾が生じてしまうので公理的集合論の集合が考え出されたのですね。 ところで "領域"と"素朴集合論の集合"は同じ概念と解釈していいのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ラッセルのパラドックスでのx ∈/ xはどういう意味?
宜しくお願い致します。 ラッセルのパラドックスというのを知りました。 『条件C(x)を満たすxの集合,{x|C(x)}はC(x)の対して一意的に定まる。 この集合をYと書く事にすれば任意のxに対してx∈Y⇔C(x)が成立つ。 今、C(x)として x∈/x を採れば集合{x|x∈/x}とする時、…』 と記載されているのですが 「x∈/x」の意味が分かりません。 "∈"の記号は片方が元で片方が集合でないといけないと思うのです。 「x∈/x」は双方とも元なのでこの記号は無意味に思えるのです。 「x∈/x」はもしてして「x∈/{x}」の意味なのでしょうか???
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 集合論の空集合の公理で
お世話になります。 「Q&A数学基礎論入門」(久間栄道 著)を読んでいたら次のようにありました。 無限公理と分出公理があれば空集合の公理は必要ないので，現在では空集合の公理を省いてある体系もある。具体的には{x∈ω'|￢(x＝x)}とすれば，これは無限公理と分出公理から存在が言えるが、これはφそのものである。 無限公理は次のように書いてあります。 ∃a((φ∈a)∧∀x∈a((x∪{x}∈a)) このaをω'とする。 疑問…何だか循環論のような気がします。 質問…空集合の公理を採用しない体系での無限公理はどのように書くのですか？ どうか教えて下さい。 当方素人ですので、分かり易くお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 有限列全体の集合を公理から構成する方法
集合Xが与えられた時,Xの元の有限列全体を要素に持つ集合は,公理的集合論からはどのようにして,その存在が示されますでしょうか？ {X^n | n∈N｝という集合の存在が言えるならば,和集合の公理から, ＿＿∪｛X^n | n∈N｝ によって,Xの元の有限列全体のなす集合Z という物の存在が主張できるような気はしましたが,自身は全くありません。 また,昔,「ACを使わなければ,Zの存在は主張できない」という文章も見た事があるような記憶がぼんやりとあります。 何か役に立つサイト,テキストなどあれば御教示いただきたく思います。宜しくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- ひとつ教科書を読みました。もっと集合論を理解したい
こんにちは！ 今、(いずれは哲学の議論に着いて行けたり、活かせたりできたらなという目的で)集合論を勉強しています。 先日『集合への30講』という教科書を読み終わりました。 この本では、素朴集合論の基本的定理に証明を与えたり、濃度と順序の考え方、またその接点などが論じられていました。 読んだ感想としては、「順序って結構難しいなあ」という印象を受けました。 新しい教材と共に、集合論の理解をもっと深めたい、また公理論的集合論の理解ができるようになりたいと思っているのですが、何かお薦めの教材はありませんか？ 正直上述の教科書で勉強して、「いま勉強している知識はいったいどこへ向かっているのだろう…？」と思いました、集合論や、またその全体像に対してもより知識を深めていきたいです。 さらに、質問の本筋とは少しずれるのですが… 私が今戸惑っていることは、 (1)濃度の概念や順序の概念についてある程度の理解は得られたが、いったいなぜそれらの概念は必要とされたのか (2)今、集合論はどのような段階にあるのか などがわからなかったことです。 もしよろしければ、お時間がございましたら、この場ででも教えてもらえないでしょうか？ アドバイスをたくさん頂けると本当にありがたいです！(まわりに相談できる方がいらっしゃらないので…) お願いします！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 集合は有限集合と無限集合だけですか？
有限集合の元の数を考えるとき、 「いかなる有限集合よりも元の数が多い有限集合は存在しない」------（A） ことがわかります。一番大きな基数の有限集合が存在しないと言い換えても良いですね。 ところがここに無限集合の概念を導入すると 「いかなる基数の有限集合よりも大きい集合として無限集合がある」---（A’） ここで「大きい」とは二つの集合の元を対応させて行くと、「大きい」方の元が余ることを言います。 ここでは、“超有限集合”＝無限集合という関係が成り立ちます。 さて、公理的集合論の公理により、無限集合Rから常にPower(R)が作れるので、 「いかなる無限集合よりも濃度の数が多い無限集合は存在しない」------（B） が成立しました。 一番大きな濃度の無限集合が存在しないと言い換えても良いですね。 ここで、有限、無限に続く第三の概念として、“超無限集合”＝寿限無集合（仮名）という概念を導入します。 すると、（A）に対して（A’）が成り立ったように、（B）に対して（B’）が成り立ちます。 「いかなる濃度の無限集合よりも大きい集合として寿限無集合がある」---（B’） 質問１：このような寿限無集合はZFC公理系で無矛盾に定義できますか？ 質問２：集合の種類は有限と無限の二種類でしたが、第三の概念を導入すると、無限集合では成り立たないが寿限無集合の世界だけで成り立つ定理も発見できると思うのですが、このような概念の拡張をした数学者はいましたか？ 質問３：有限と無限以外に第三の概念を導入することが無意味であると立証できますか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 特殊相対論の式を弄ってたら色々な事が分かりました。
一般相対性理論では、 ＧＰＳやカーナビができましたが、（これも真偽は怪しいし、アインシュタインを支持する者達の妄動かもしれませんが。） ＧＰＳってのは近づいてくる車と遠ざかる車を補正技術なしで判定できるのでしょうか？ 又、特殊相対論のローレンツ収縮の数式、これはどうやってできたんですか？ 歴史的背景を詳しくお願いします。 又、 一般相対論では 同じ静止した観測者が、秒速１０万ＫＭで遠ざかる隕石と、 秒速１０万ＫＭで近づく隕石を区別できますか？ 又、２つの物体の観測者との比速はどうなるのでしょうか。 ひょっとして、「秒速１０万ＫＭで近づく隕石」と「秒速１０万ＫＭで遠ざかる隕石」が同じ比速になっていますか？ 大事なところなのでココを一つお願いします。 特殊・一般相対論では、 近づく物体も遠ざかる物体も、同じ比速ですか？（両方同じ速さだったら。） 又、ゼノンのパラドクスの、 「競技場のパラドックス」「飛んでいる矢は止まっている」から来る、 空間に最小単位がなくて時間にはある、とかそういう見解が、 他のと比べて矛盾する、というのは現代科学で解けていますか？ それと、 ウラシマ効果や反重力、タキオン、特殊相対論の不完全性（不完全なだけで意味がないワケではないです。） 重力波Ａ，Ｂ， みんなが解せない光速度不変は本当か、エーテルはあるか、等すべて解決しました。 おそらく、きわめて近い未来にニュートン、１９０４年 １９１４年以上の大センセーションが世界を覆うと思います。 皆さんついてこれますか？ ゲーデル解、タイムマシーンについてもいくつかわかりました。 それと、 特殊相対論・一般相対論の問題や、パラドックスやわかっていない点、 双子のパラドックスの解決、 説明できない点、 ＧＰＳの理論的問題などがあったら何でもいいので教えてください。 （仮に、ネットで検索して書かれてる様な問題だけでなく、システムに理念から言っても問題があれば特にそれがほしいです。欠陥や足りない部分と置き換えてもいいです。） 最後に、 mixi（プロフィール等があって発信者の証拠が残る。）で 概念を書いて行って、 数式のところだけは知り合いの講師（東大数学科出身）に送ろうと思っています。 もし、万が一億が一京が一私が奇跡的に素晴らしい発見をできたなら、 これから、世界を変えるにあたってどうするべきでしょうか？ アドバイスお願いします。
- 締切済み
- 物理学
お礼
情報ありがとうございます。 え～と、、、「Introduction to metamathematics」というので探せばいいのですよね？ 調べてみます☆