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固有値問題
境界条件として、 y(1)=0,y(ω)=0,y(ω^2)=0 があるときの d^3y ------ = λ^3*y dx^3 が解けなくて困ってます。ここでωは1以外の1の立方根のことです。 この問題はλを如何に決定するかが鍵だと思うのですがλの満たすべき方程式さえ導出できません。 よろしくおねがいします。
- burgess_shale
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- atsuota
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まず一般解を求めます。 (1)λ=0の場合 y = A*x^3 + B*x^2 + C (2)λ≠0の場合 y = A*exp(λx) + B*exp(λωx) + C*exp(λ(ω^2)x) と求まります。 あとは境界条件ですが、 (1)λ=0の場合 A + B + C = 0 ω^2*A + ω*B + C = 0 ω*A + ω^2*B + C = 0 より、A = B = C = 0 よって y = 0 が解 (2)λ≠0の場合 A*exp(λ) + B*exp(λω) + C*exp(λ*ω^2) = 0 A*exp(λω) + B*exp(λ*ω^2) + C*exp(λ) = 0 A*exp(λ*ω^2) + B*exp(λ) + C*exp(λω) = 0より、A = B = C = 0 よって y = 0 が解 …本当か??
- stomachman
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すぐ思いつくのは y=0という解で、確かに「境界条件」を満たしますが.....こりゃひどい。 次は3回対称の指数関数の和: y = exp(Ax+P)+exp(Aωx+Q) とか y = exp(Ax+P)+exp(Aωx+Q)+exp(A(ω^2)x+R) ですけど、境界条件を満たせるかなあ。
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