素数の疑問と最小公倍数の疑問

質問

先日中学２年生の甥から以下のような質問を受けました。
「素数って約数がちょうど２個の数の事？」
うーむ。確かにこれなら１を除くことができるわけですし、いいかな？と思ったのですが、実際のところどうなのでしょう？素数の正確な定義に照らし合わせるとどうなるかが知りたいです。「素数とは約数がちょうど２個（１とそれ自身）の自然数」とはっきりと答えても正しいのでしょうか？
「そうだ！！」と答えられない中途半端な学力が情けないです。

後、これは私の体験談というか、中学生のころ思ったんだけれども実行しなかったことなのですが、例えばテストで「６と８の最小公倍数を求めよ」と言う問題があったとき、答えを「０」としてはならないのでしょうか？そのときは「テストで聞かれているから」ということで「２４」と答えていたのですが。実際、「０」と答えた場合マルはもらえないでしょうか？数学の教師の方どうでしょう？私の記憶では、問題文には特に「自然数で」とは書かれていなかったと思います。いや、書かれていたかも？もしそうなら、私の単なる勘違いでいいのですが。
中学生のころちゃんと教師に聞いとけば、ここまで引きずることは無かったのにちょっと後悔しています。

恥を忍んで伺います。よろしくお願いいたします。私の疑問を一刀両断にしてください！

回答No.5

puni2

おお，さすがnozomi500さん，思っていることをうまく説明していただきました。
>「正多面体とは？」の定義で、実際には正4,6,8,12,20面体しか存在しないのだから、それを定義すればいい、とは思わないでしょ
明快な説明ですね。
結局，「何のために最小公倍数なるものを考えるのか」ということですよね。
「数学は自由だ」といった数学者がいたような気がしますが，で実際どう定義しようと自由といえば自由なわけで，それこそ誰かの思いつきで定義しても，それが受け入れられさえすればいいのでしょうが，それは大学以上の数学だと思います。
とりわけ小・中学校では，なんでもいいからこういうふうに定義されてるんだ！と天下り的に済ますよりも，何らかの意味づけが出来たほうがベターですね。

前回の回答を書いたあと，隣の部屋の奥に3年分の中学数学の教科書（教育出版）があるのを思い出し，ひっぱりだして見てみました。昭和61年3月31日文部省検定済み，平成3年2月10日発行となっています。
第1章が整数，その第2節が公約数と公倍数。そのあと，第2章が正負の数となっています。
公倍数の単元の導入部はこんなふうになっています。
「いくつかの整数に共通な倍数が，それらの和の公倍数である。公倍数は無数にある。公倍数のうちで，0を除いた最小なものを最小公倍数という。
例1　4と6の最小公倍数を求めてみよう。
4の倍数は
　0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ……
6の倍数は
　0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ……
であるから，4と6の公倍数は，
　0, 12, 24, 36, ……
となる。
したがって，4と6の最小公倍数は12である。
（ここに集合の図があり，共通部分に　0　12　24　36　…と書かれている）
例1から分かるように，4と6の公倍数は，最小公倍数12の倍数になっている。最小公倍数が分かれば，公倍数はその倍数として求められる。（以下略）」

他社も同様だと思います。考えてみれば当然で，なにしろ文部省（文部科学省）の検定を受けているわけですから，「0を除く」を忘れたら検定に通らないでしょう。
ここまで書いて「0を除く」ことを示している以上（なにしろ例題まであるのだから），試験で0と答えても認められないでしょうね。

小学校でやったかどうかは，その時その時の指導要領によって違います。上で紹介した教科書や，その前の世代（私が習った時）では，小学校と中1と2回出てきています。現在は授業時間が減っていることもあり，原則として小学校だけのようです。

あと，素数の定義の仕方ですが，結果的には「約数が2個」でも「1とその数自身だけ」でも同じことなんですが，どちらが自然かと考えると，私もnozomi500さんのおっしゃるように「1とその数自身」に1票です。
「約数が2個」のほうが簡潔かもしれませんが，特に小・中学校の数学教育ということを考えると，定義のもつ意味というのが大事になってきます。
正負の数の計算規則，たとえば負×負＝正にしても，単に計算の規則として押しつけるのではなく，「どう定義していくのが自然か」という観点で，いろいろな実例を上げたりしながら導入していっています。
累乗の指数が負や小数などになる場合も，指数法則の一貫性などを考えさせつつ，どのように拡張するのが自然か，ともっていきます。
nozomi500さんの繰り返しになりますが，「約数が2個」だと，「2個だから何？」「なんで2個だけ考えるの，約数が7個の数には名前は無いの？」ということになるかもしれません。
意味を大事にするという立場からいえば，「1とその数自身だけ」を定義にして，「結果的に約数は2個」ともっていくほうが自然だと思います。

ちなみに，前述の教科書でも同様の展開です。
「37の約数は1と37だけである。37のように，1より大きい整数で，1とその数のほかに約数がないものを素数という。
問1　1から10までの整数の約数を調べ，右の表に書き入れよ。また，10以下の素数を全部いえ。
上で調べたことからもわかるように，素数は約数を2つだけもつ整数であるということもできる。1は素数ではない。」

No.2へのお礼で
>なぜ簡単な方が定義として残らないのでしょうか？「素数とは約数がちょうど２個の自然数」の方がわかりやすいと思うのですが。その辺がちょっ
>と一般数学素人が立ち入りにくい要因の一つになっていると思います。
とありますが私に言わせればこれもオーバーというか，必要以上に数学を悪者にしたてているように感じられます。
簡単かどうかというより，曖昧な定義（たとえば「約数の少ない数を○○という」みたいな）でなければ，必ずしも簡単でなくてもいいと思います。
今回の場合，「約数が2個」でも「1とその数自身だけ」でも結果的には同義なのですが，最初から「約数がちょうど2個」と定義するのは，少なくとも小・中学校においては，あまりにも唐突です。
確かに字数でいうと「約数が2個」のほうが短いですが，何でも短ければよいというものでもないでしょう。

Magoichiさんは，こちらのほうが分かりやすいとお感じのようですが，それは国語の問題というより，数学的な考え方の問題だと思います。
(1)「2個」の意味（1とその数自身）を既に知っているから。あるいは，知らなくてもすぐにピンとひらめくから。
か，逆に
(2)テストで正答が出さえすれば意味なんてどうでもよい，という姿勢が数学学習の基本にあるから。
のどちらか（両方？）ではないでしょうか。（前回の「言いがかり」といい，失礼な言い方が続きましたことをお許し下さい）

お礼

puni2さん、再度のご回答どうもありがとうございます！！

＞前回の回答を書いたあと，隣の部屋の奥に3年分の中学数学の教科書（教育出版）があるのを思い出し，ひっぱりだして見てみました。
＞公倍数は無数にある。公倍数のうちで，0を除いた最小なものを最小公倍数という。

わざわざお手数かけましてありがとうございます。うーむ。教科書にもきっちり０を除いたという記述があったということは、完全に私の記憶違いですね。ご迷惑おかけしました。

＞ここまで書いて「0を除く」ことを示している以上（なにしろ例題まであるのだから），試験で0と答えても認められないでしょうね。

はい。これで完敗です。私の知人で数学のテストが受ける人がいれば、これからは試験で０を書かないように促します。

＞意味を大事にするという立場からいえば，「1とその数自身だけ」を定義にして，「結果的に約数は2個」ともっていくほうが自然だと思います。

なるほど。確かに意味と結果と言う観点からすれば、私が思っていた「約数がちょうど２個」というのは、知ってたらこそ言えたのかもしれません。
初めて習うときには、「１とその数自身だけ」と習うよりは、１を素数に加えないのなら、「ちょうど２個」と教えられた方がわかりよいと思っていました。

よって、

＞(1)「2個」の意味（1とその数自身）を既に知っているから。あるいは，知らなくてもすぐにピンとひらめくから。
か，逆に
(2)テストで正答が出さえすれば意味なんてどうでもよい，という姿勢が数学学習の基本にあるから。

では、明らかに（１）の方です（知らなくてもすぐにピンと閃くのではなく、２個の意味を既に知っていたから）。

たくさん回答していただき本当にありがとうございました。

あ、それと、

＞前回の「言いがかり」といい，失礼な言い方が続きましたことをお許し下さい

全然気にしていませんので。遠慮なく忌憚無き回答をお寄せください。