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微分方程式 半球の問題
微分方程式の問題で悩んでいます。これは学術図書出版社の定松隆、猪狩勝寿先生の書かれた「微分方程式の解法」という本に載っていた問題です。 「半径Rの半球の容器に水が満たされている。そこに穴が開いていて水位に比例して水が流れ始める。水が穴から流れ始めてから水がなくなるまでの時間を求めよ」 私は、回転体の体積の積分公式を利用して、 (x-R)~2+y~2=R~2を0からx(t)まで回転体の積分を行い、 Rx(t)~2-1/3*x(t)~3 という体積の式を作りました。 Δtの間に体積は Rx(t)~2-1/3*x(t)~3-{Rx(t+Δt)~2-1/3*x(t+Δt)} だけ穴から水が出ると考え、この式とkx(t)Δtを等号で結びました。 ところが、解答には 「容器の底を原点に、垂直上方を正の向きにとる。時刻tの水位をx(t)とする。水位がxの時、水面の半径をrとすると、R~2=(R-x)~2+r~2.時刻tからt+Δtの間に減った水の量は πr~2(x(t)-x(t+Δt))=π(2Rx-x~2)(x(t)-x(t+Δt)) (1) 一方、流れ出した水の量はkx(t)Δt.この結果方程式は (2R-x)dx/dt=-k/π」 となっています。 ところが、よく見てみると、(1)の式において、左辺が円柱の式になっているように見え、どうしてこの式が成り立つのかで詰まってしまいました。 この問題はどのように考えればよいのでしょうか?ご助言をお願いいたします。
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