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円錐の断面の形について
siegmundの回答
原点に頂点があり，軸がz軸になっている円錐の方程式は (1) ax^2 + ay^2 - z^2 = 0 (a は正の定数)ですから， 平面の式と連立させればＯＫです． a=1 の場合の円錐を xz 平面で見たのが下図です 普通の円錐は z<0 の部分ですが，z>0 には逆立ちした円錐があると思ってください． こうしておくと，双曲線が見やすいのです． ｚ ＼ │ ／ ＼ │ ／ ＼ │ ／ ＼│／ ───────── ｘ ／│＼ ／ │ ＼ ／ │ ＼ ／ │ ＼ xy 平面に平行な面で切るなら，例えば z=1 と連立させて 切り口は (2) x^2 + y^2 = 1 で，円． 以下同様ですので，細かい計算はお任せします． 少し傾けて，z = (x/2) - 1 で切るなら，(1)と連立させて楕円の式になります． z = x - 1 (母線に平行)で切れば放物線の式． x = 1 で切れば双曲線の式． この場合は，上の円錐と下の円錐の両方を切ることに注意して下さい． 曲線が２本出るので，双曲線という名前がついたのです．
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