• ベストアンサー

気になった問題

ringohatimituの回答

回答No.1

modで上手くいきます。 (n+20)^(n+20)=(n^n)*(n^20) (mod 5) で すべての整数nに対して n^4=1 (mod 5) であることに注意すると(最初の式)=n^n (mod 5) となります。これは余りが等しいことを表しています。

graduate_student
質問者

お礼

ありがとうございました. やはりmodでうまくいきますよね. 参考になりました.

関連するQ&A

  • 「mod」って何者??

    数学の整数問題で使うことができるらしい[mod]とかいうテクニック的なものってなんなんですか? そしてどうやって使うのですか? 例えば↓のような問題もmodやらを使って解けるのですか?? 問題1 nを自然数とするとき、 (1)nが3の倍数でない奇数の時、n'2(nの2乗)を12で割った余りを求めよ。 (2)n'3(nの3乗)を6で割った余りは、nを6で割った余りに等しいことを示せ。 (東北学院大学) 問題2 (1)正の整数nでn'3+1(nの3乗+1)が3で割り切れるものをすべて求めよ。 (2)正の整数nでn'n+1(nのn乗+1)が3で割り切れるものをすべて求めよ。 (一橋大) 詳しく教えてください。お願いします。

  • 数学的帰納法でこの問題に詰まっています

    連続したk個の整数の積はk!で割り切れることを数学的帰納法で証明せよ。 という問題です。数学的帰納法というからには、nやn+1を使うのだと思うのですがよくわかりません。どなたか解法と解答をお願いします。

  • 余りに関する証明

    学校で出た数学の課題なのですが、わからないので教えてください。 1 整数nに対して、nの2乗を3で割ったときの余りは0か1であることを証明せよ。 2 どのような整数nに対しても nの2乗+n+1は5で割り切れないことを示せ。 このような問題なのですが、どこをどうすればいいのか全くわかりません。 どうすればいいのか教えてください。

  • この問題を教えてください。

    この問題を教えてください。 問題は xを正の数、nを正の整数とするとき、 e^x>Σx^k/k!(Σはk=0からn) これをnについての数学的帰納法によって証明せよ。 です。

  • 数学的帰納法の証明問題

    代数学の問題で数学的帰納法を使った証明問題で躓いてしまいました。 問題の最初でわからないため、その後の問題も同じく解くことができません。 どなたかアドバイスをしていただけないでしょうか。 問1:自然数mに対して 5^2^m≡1 (mod 2^(m+2) ), /≡1 (mod 2^(m+3) )   (後者 /≡は「合同ではない」ってことです) であることをmに関する数学的帰納法で示せ。 問2:1の結果を利用して 5^2^(n-2) ≡ 1 (mod 2^n) (n≧2), 5^2^(n-3) /≡1 (mod 2^n) (n≧3) であることを示せ 問3 5^2^(m-1) ≡ -1(mod 2) (m≧1), 5^2^(m-1) /≡-1(mod 2^n) (m≧1,n≧2) を示せ。 現在問1の解き方として m=1で成り立つことを証明する。 m=r とし 5^2^r≡1 (mod 2^(r+2) ), /≡1 (mod 2^(r+3) ) が成立すると仮定し、 両辺にある数を加えたりかけたりして m=r+1 つまり 5^2^(r+1)≡1 (mod 2^(r+3) ), /≡1 (mod 2^(r+4) )になることを証明できれば すべての自然数mに対して成立することが証明できると思います。 ただ、m=rからどうやればm=r+1につなげられるかわかりません。 どなたかご指導のほどよろしくお願いします。

  • 数学的帰納法の不等式の問題です

    数学的帰納法の不等式の問題です。 nは自然数とする。不等式 2n が成り立つことを、数学的帰納法を用いて証明せよ n=1のときはわかるのですが、n=kのとき成り立つと仮定してn=k+1のときに成り立つことを証明する解き方がわかりません。 教えてください!

  • 帰納法の問題について

    次のような問題で悩んでおります。 問:どのような自然数k,lを用いても6k+13lと書き表すことができない最大の整数nを求めよ。 最終的にはこれを帰納法で証明しろという問題なのですが、帰納法証明自体は 手順としてはわかるのですが、このnを求めるのがわかりません。 地道に計算していくしかないのでしょうか? 手元にある教科書では、nが6k+13lと書けないことの証明(n-13lは6の倍数ではない) はあるのですが、それが最大の整数だということの説明がなくて困っています。(ちなみにこの問題の回答はn=59) おそらく帰納法自体を私がちゃんと理解できてないのでわからないと おもっているのですが、どなたかわかる方教えてください。

  • 数学的帰納法の問題

    帰納法の問題を教えてください。 すべての自然数nについて、n^3+5nは6の倍数であることを数学的帰納法 によって証明せよ。 よろしくお願いします。

  • 帰納法の問題です。 困っています。

    正の整数からなる数列[an]を、 an=[13]^n +2[23]^n-1 で定める。 an(n=1.2.3....)のすべてに共通する素因数分解が、 存在することは、数学的帰納法を用いて示せ。 困っています。宜しくお願い致します。

  • 帰納法と背理法の注意点について

    「nを正整数とする。(2^n) + 1は15で割り切れないことを示せ。」という問題です。 解答は帰納法で解くのではなく、nを具体化していくと15で割ったあまりが3,5,9,2・・・のパターンで推移していくのを証明すればいい問題なのですが、これに対して私は帰納法と背理法をミックスして以下のように解こうと思ったのですがだめですか。 (2^n) + 1は15で割り切れると仮定し、それを帰納法で表す。 n=1のとき3となり15で割り切れない。 n=kのとき15で割り切れると仮定する。つまり (2^k) + 1=15m ⇔2^k=15m-1・・・(1)が成り立つと仮定する。 (1)より (2^k+1)=2(15m-1) =15・2m - 2 となり矛盾する。よって(2^n) + 1は15で割り切れない・・・(終) どこかおかしそうな気がするのですが、結論として帰納法は帰納法単独でしか使えないのでしょうか。この問題は帰納法単独だけでは「(2^n) + 1は15で割ると13余る数ではない」ということしか証明できないので困ります。 よろしくおねがいします。