置換積分について

質問

「置換積分法を微少量の和の極限として説明できる」、
というようなコトを聞きましたが、それはどうやるのでしょうか？

回答No.3

newtype

stomachmanさんのおしゃる通りです。
私の式は一価関数では簡単に説明できるのですが、多価関数では一対一対応ではないので、このままでは本当に意味がない。
「１対１の対応を用いて、区～」と書いてある所は一価関数の時だけに成り立つと修正しといてください。

さて、ｘ＝ｇ（ｔ）が多価関数の時を考察しましょう。
ｘ＝ｇ（ｔ）のグラフを書いて、ｘ＝ａ {ming(t)≦ａ≦maxg(t)}のｔ軸に平行な直線とｘ＝ｇ（ｔ）の交点をそれぞれ
（ｔa1，ａ）（ｔa2，ａ）……（ｔaｎ，ａ）とする。（ｔa1≦ｔa2，…≦ｔaｎ）

１．ｔ＝ｇ＾-1(ａ)を満たす、すべてのｔを小さい順に並べる。
２．今度はａを動かして、１と同じようにそれぞれのａについてｔを並べる。
３．１，２のすべてのｔを小さい順に並べ、番号をつける。
（ｔ1≦ｔ2≦…ｔk≦…≦ｔｎ）
４．あとは一価関数のときと同じように、ｘの分割及び代表値に対応する、ｔの分割及び代表値を定めてやる。

こういうことを多価関数のときに自動的にやっていると考えられる。
以上

参考URL：

a

お礼

ちょっとムヅカシかったので、一般的な場合ではなく、

x = g(t) = t^2 などとして自分でやってみたところ、

g^-1(a) = {A｜a = g(A)}
g^-1(b) = {B｜b = g(B)}

としたとき、g^-1(a)の任意の要素からg^-1(b)の任意の要素までの
どの範囲で積分しても同じ結果になりそうですね。

それでは、ありがとうございました。