置換積分について

質問

「置換積分法を微少量の和の極限として説明できる」、
というようなコトを聞きましたが、それはどうやるのでしょうか？

回答No.4

newtype

１のお礼に書いてあることはdetmul2さんの解釈でいいと思います。
少し補足すると、x=g(t)のグラフというのは変換式をあらわす。

１．y=f(x)のグラフでｘ軸からａ≦ｘ≦ｂの範囲で「幅の長さがほとんどない長方形」を足しあわせたものが、∫f(x)dxとである。
２．x=g(t)のグラフでｘ軸からx=g(t)のグラフに向けて、１の長方形と同じ数の長方形を書きます。するとｔ軸に平行なたくさんの短冊がａ≦ｘ≦ｂの範囲であるのがわかると思います。
３．短冊とx=g(t)のグラフの交点からｔ軸に向けて垂直に直線を引くと、今度はx=g(t)のグラフの下に１と同じ数の長方形がg^-1(a)≦ｔ≦g^-1(b)の範囲であるのがわかると思います。
４．これら長方形から一つ選んで考えると、Δｘ／Δｔ≒g'(ｔ)⇔Δｘ≒g'(t)Δｔ。
あとは私の回答通りです。

実際に定理を使って計算するとき、
「ｘの微分」の考えを使えばdx=g'(t)dtとやることに抵抗はなくなると思います。
４で「Δｘ≒g'(ｔ)Δｔ」とやりましたがこの式はΔｘの近似式である。
「g'(ｔ)Δｔ」をｄｘであらわし、これを「ｘの微分」という。
ｄｘ=g'(t)Δｔ……（１）
とくにｘ=g(t)=tのときを考え、（１）に代入すると、
ｄｔ=1*Δｔになり、（１）に代入して、
ｄｘ=g'(t)ｄｔを得る。……☆
両辺をｄｔで割ると、一見dx/dt=g'(t)=dx/dtとなるが、左辺と右辺は別物である。
この☆式を使えばｘ＝（ｔ＋１）／２という変数変換を考えるとき、
ｄｘ＝｛（ｔ＋１）／２｝’ｄｔ⇔ｄｘ＝（１／２）ｄｔとすればよい。

まとめ 「ｄｘ＝g'(t)ｄｔの解釈の仕方」
１．私が示したように極限計算から極限値∫f(x)dx=∫f{g(t)}g'(t)dtを導く方法。ちなみにこの後の計算は定理でやる。
この左辺と右辺を見比べるとx=g(t)，dx=g'(t)dtを代入しただけだとわかる。
２．ｘの微分の考え方を使う方法。

以上

お礼

「微分の考え」というのは、今までまともに習った記憶がなく、
(もしかしたら忘れてるのかもですが…)
苦戦していましたが、今回、「微分の考え」をナントナク脳に定着させることが
できたような気がします。
あくまでナントナクですが…(HA～…このアタマがうらめしぃ～もっと高機能なアタマを～)

∞はとにかくオッキーンダ～、と思えばいいですが、
十分小さいdxとかは、たとえば図なんか書いて考えるときは、
そのdxよりも小さい世界が目にちらついて考えにくかったりしたのです。
というのがとりあえず今思いついたいいわけです…

ものわかりの悪いぼくに付き合ってくれて、ホントにありがとうございました。