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漸近線の求め方?
tetra_oの回答
xy平面上において、y軸と平行な漸近線を求めるということは、要は関数がどのような値に発散あるいは収束するかを調べるということですから、lim[x→+∞] および lim[x→-∞]を調べ、極限値をもてばそれをy軸と平行な漸近線とすることができます。 lim[x→+∞] (e^2x+1) / (e^x-2) = lim[x→+∞] (e^x+1/e^x) / (1-2/e^x) = +∞ よって、x→+∞の時は発散するので、y軸と平行な漸近線を持ちません。 x→-∞の時は、t=-xと置き換えれば、 lim[x→-∞] (e^2x+1) / (e^x-2) = lim[t→+∞] (1/e^(2x)+1) / (1/e^x-2) = -1/2 よって、x→-∞の時は-1/2に収束するので、y軸と平行な漸近線y=-1/2が求まります。 以上より、(e^2x+1) / (e^x-2) のy軸に平行な漸近線はy=-1/2となります。 ------------以下余談------------ y=mx+nの形で表されるy=f(x)の漸近線は、lim[x→±∞] {f(x)-mx-n} = 0 を満たしますから、 lim[x→±∞] -n を右辺に移項して計算すると、lim[x→±∞] f(x)-mx = n また、lim[x→±∞] {f(x)-mx-n}/x = 0 より、lim[x→±∞] -(mx+n)/xを右辺に移項して計算すると、 lim[x→±∞] f(x)/x = m よって、一般に、y=mx+nの形で表されるy=f(x)の漸近線は、次の式によって求まります。 m = lim[x→±∞] f(x)/x n = lim[x→±∞] f(x)-mx 先にmを計算してから、nを計算するという感じになります。本問では、 x→+∞では、m = lim[x→+∞] (e^(2x)+1) / (e^x-2) * 1 / x → lim[x→+∞] 2e^(2x)/e^x (※) = lim[x→+∞] 2e^x = +∞ よってこの時y=mx+nで表される漸近線は存在しない (※)大学で習うロピタルの定理を利用するので、そんなものなんだ程度に理解していただければ。 x→-∞では、 m = lim[x→-∞] (e^(2x)+1) / (e^x-2) * 1 / x → lim[t→+∞] (1/e^(2x)+1) / (1/e^x-2) * 1 / (-t) = 0, n = lim[x→-∞] (e^(2x)+1) / (e^x-2) = -1/2 よってこの時y=mx+nで表される漸近線はy=-1/2
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