• 締切済み

テイラー展開、公式

alice_44の回答

  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.1

イメージしても、しかたがない。 「テイラーの定理」について、成書で読め。 それが、多項式近似が存在する根拠になる。 あと、定数関数 0 へ収束する巾級数が 各項 0 のものしかない ことと合わせると、 巾級数展開の一意性が言える。

関連するQ&A

  • テイラー展開

    テイラー展開 教科書に「n=3として、f(x)=sinxのx=π/4におけるテイラー展開を求めよ。」という問題があります。 f(x)=sinxは無限回微分可能。 n=3 a=π/4 としてテイラー展開を行う。 n=3なので、テイラーの定理に(n+1)乗まで、a=π/4を当てはめればいい。 そして、f(x)、f'(x)、f''(x)…と、(n+1)回微分まで求めて、求めた値f(π/4)、f'(π/4)、f''(π/4)…をテイラーの定理に代入する。 講義のルーズリーフをなくしてしまい、記憶で解いていたのですが果たして考え方が合っているのか不安です。これでいいんですよね?

  • テイラー展開を用いた1次、2次近似式

    テイラー展開を用いて1次、2次近似式を求めよという問題いう問題があるのですが、どうすれば良いでしょうか。 1次近似式は 平均値の定理の式 関数f(x)が閉区間[a,b]で連続で、開区間(a,b)で微分可能であれば f(b)=f(a)+f'(c)(b-a)・・・(1) であるようなcが区間(a,b)の中に少なくとも一つ存在する (1)を式変形させx≒aのときの近似式 f(x)≒f(a)+f'(a)(x-a) となることはなんとなくわかるのですが、2次近似式の方は完璧に分かりません。 できれば両方教えていただけると助かるのですが、2次近似式のみでも構いませんので、 どなたか教えていただけないでしょうか。 よろしくお願いします。

  • テイラー近似式の求め方について

    大学の授業でテイラー近似式の求め方を習ったときの板書の記述に、 「関数f(x)を2次関数P(x)で近似するとき、接点のx座標を x = a とすると、P(a) = f(a) であるから  P(x) = f(a) + (x-a)(xの一次式)  が成り立つ」 というような部分があったのですが、どうしてこのような式が導き出せるのでしょうか? また、その授業ではこの後、(xの一次式)をbx+cと置いてからP(x)の式を微分していき、f(x)とP(x)の接点での傾きや2階微分も一致していることから、bとcをaやf'(a)やf''(a)を用いて表して、それをP(x)の式に代入して2次関数による近似式を導いていました。 元の関数と近似式の、接点だけでなく、傾きや2階微分も一致する理由もできれば教えていただきたいです。

  • テイラー展開の幾何学的意味について

    テイラー展開についてどなたかご指導ください。 ある関数f(x)を多項式に当てはめてその係数を解析的に求める証明は理解できるのですが、 テイラー展開の幾何学的意味がよくわかりません。質問は以下のとおりです。 x軸上で、ある点aからh進んだ点をxとして、aからxの区間を考えます。 f(x)は以下のようにaにおける勾配f'(a)を使って以下のように近似できるのは理解できます。 f(x) = f(a) + f'(a)*h  ・・・(1) 次に、f'(a)を以下のようにf'(a)とf'(x)の平均に置き換えれば、近似精度がよくなるのも理解できます。 f'(a) → (f'(a)+f'(x))/2 ・・・(2) 式(2)のf'(x)を以下のように近似して f'(x) = f'(a) + f''(a)*h ・・・(3) 式(2)を書き直すと f'(a) → f'(a) + f''(a)*h/2 ・・・(4) となることもわかります。 ここで式(1)のf'(a)を式(4)のものに置き換えると f(x) = f(a) + f'(a)*h + f''(a)*h*h/2 ・・・(5) が得られ、テイラー展開の公式と一致しますが、これ以降がわかりません。 式(2)、式(3)、式(4)と同様に f''(a) → (f''(a)+f''(x))/2 ・・・(6) f''(x) = f''(a) + f'''(a)*h ・・・(7) f''(a) → f''(a) + f'''(a)*h/2 ・・・(8) として式(5)のf''(a)を式(8)のものに置き換えると f(x) = f(a) + f'(a)*h + f''(a)*h*h/2 + f'''(a)*h*h*h/4 ・・・(9) となり最後の項が公式と一致しません。 公式と一致させるためには式(6)を f''(a) → (2*f''(a)+f''(x))/3 ・・・(10) にしなければいけません。これが引っかかっているところで、なぜ単純な平均ではなくて 2:1の重み付けをしなければならないのか理解できません。 これ以降 f'''(a) → (3*f'''(a)+f'''(x))/4 ・・・(10) のように、xよりもaでの微係数に大きな重みを付けて平均することになると思います。 この重みが幾何学的に何を意味しているのかどなたか教えていただけないでしょうか。

  • テーラー展開

    f(x)=x^2-x+1について、x0(中心点)を5としてテイラー展開しなさいという問題です。 筆算の場合のテーラー展開はやったんですが微分できる回数が決まってる式の展開というのが分かりません。 途中の式を教えてください。お願いします。

  • テイラー展開が分かりません!

    途中式が分からず困っています教えてください! (1)f(x)=1/(1+2x)のx=0におけるテイラー展開のx^2の係数は? 答え:4 (2)f(x)=x^2-3xのとき、{f(9)-f(5)}/(9-5)=f'(c)を満たすcの値は? 答え:7 以上です。ご協力お願いします!

  • テーラー展開するには

    e^-xをテーラー展開するということはマクローリン展開すればよいのですか?問題ではxの値が指定されていません。さらに、近似誤差が1%以内となるxの値も問われています。どうすればよいか詳しく教えてください。

  • n次近似式とテイラー展開について

    学校で近似式の勉強をしていて、テイラー展開という所まで進みました。 そこでn次近似式との関係について良くわからない事がありましたので質問します。 文章がわかりにくいと思いますがお願いします。 n次近似式は、n番目までの近似でn番目の後にランダウの記号がついています。 テイラー展開はn番目の近似の後にさらに・・・と続いています。 この二つにはどのような違いがあるのでしょうか? あとマクローリン展開はa=0の時のテイラー展開という事はわかりました。 そこで、 f(x)=exp(x)のx=0におけるn次近似式を求めよ。と書いてあった時は、n次近似式とテイラー展開が同じ事を言っているとしたら、マクローリン展開で解いても良いのでしょうか?

  • テイラー展開について

    テイラー展開による多項式近似の説明で多くの場、 x=aの近傍で…、などと書いてありますが、 xがaの近傍である必要はなぜですか? わかる方よろしくお願いします。

  • テーラー展開とマクローリン展開

    独学なのでいまいちはっきりわからなく。。。 f(x)のテーラー展開 Σ(n=0~∞) (☆/n!)(x-a)^n (☆はf(x)をn回微分したものにaを代入した値) 1)マクローリン展開はテーラー展開の一種である。(テーラー展開のaに0を代入したものをマクローリン展開という) 2)aに代入する値は別に何の数字であっても展開はできる 3)テーラー展開は基本的に無限回微分可能な関数をf(x)=多項式の形に直すのに使われる という理解でいいのですか? 間違ってたら訂正お願いします。 またこれはいつ使うのでしょうか。。?