数III問題です

質問

これを解いてください

図とかはあたられません

回答No.2

gtmrk

おはようございます。

No.1 様のおっしゃる通り、
この程度でしたら写真ではなく打ち直して頂いたほうがよいですね。
一応今回はかろうじて見えたのでお答えしておきます。

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この曲線 C はいわゆる『サイクロイド』ですが、
曲線がどんな形だろうが基本は全て同じです。
曲線 C : y(x) の、接点 (x1, y1) における接線 l の方程式は

　(1)　　l ： y - y1 = y'(x1) (x - x1)

と書けます。 y'(x1) は y の x = x1 における微分係数です。
y はパラメータ θ で表示されていますから、導関数は

　(2)　　y' = dy/dx = (dy/dθ) / (dx/dθ)

と考えて良いでしょう。これを計算すると

　(3)　　y' = sin(θ) / (1 - cos(θ))

となります。さて、接点の座標は

　(4)　　(x1, y1) = (π/2 - 1, 1)

とわかっているので、(3)式に x = x1 = π/2 - 1 を代入できれば
(1)式における y'(x1) が求まるわけですが、
y' は相変わらずパラメータ θ で表示されているので、
(4)に対応する θ = θ1 を求める必要があります。
y1 に関して、

　(5)　　y1 = 1 - cos(θ1) = 1
　　　　　⇔　cos(θ1) = 0
　　　　　⇔　θ1 = π/2, 3π/2

この２通りの θ1 のうち、x1 に関する式

　(6)　　x1 = θ1 - sin(θ1) = π/2 - 1

を満たすのは θ1 = π/2 だけです。
よって、接点におけるパラメータは θ1 = π/2 と決まります。
では、これを(3)式に代入しましょう。

　(7)　　y'(θ1) = sin(π/2) / (1 - cos(π/2)) = 1

というわけで、接線の方程式は(4)(7)を(1)式に代入して、

　(8)　　y - 1 = 1 * { x - (π/2 - 1) }
　　　　　　⇔　y = x + 2 - π/2

となります。

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さて、求めたい面積の式は

　(9)　　∫ { (x + 2 - π/2) - (1 - cos(θ))} dx
　　　　　　= ∫ (x + 2 - π/2) dx - ∫ (1 - cos(θ)) dx

　　　　　　（積分範囲は x = 0 → π/2 - 1）

と書けますよね？
しかし、第１項はいいとしても第２項は θ の関数ですから、
積分範囲と『 dx 』も θ で表さないといけません。

　(10)　　dx = (dx/dθ) dθ = (1 - cos(θ)) dθ

です。積分範囲は当然 θ = 0 → π/2 ですね？
というわけで(9)式は

　(11)　　∫ [0 → π/2 - 1] (x + 2 - π/2) dx
　　　　　　　　- ∫ [0 → π/2] (1 - cos(θ))^2 dθ

と書き直されます。（[　]内が積分範囲を表します。）
あとはただの計算です。是非ご自分でどうぞ。