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数式の変形に関して
gtmrkの回答
- gtmrk
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こんばんは。 No.1 の方が反例を示して下さったとおり、 (1) a1/b1 = a2/b2 = y/x ( = k ) という式は (2) 1/x = 1/b1 + 1/b2 かつ 1/y = 1/a1 + 1/a2 であるための十分条件にはなり得ませんね。 『(1)⇒(2)』は成り立たないということです。 一応(1)から(2)をなんとなく導くことは出来ます。 比例式(1)が表す値が k という定数で表せるとすると、 この式は以下のように (3) 1/b1 = k/a1 (4) 1/b2 = k/a2 (5) 1/x = k/y という３つの式に分解でき、 ここで (2) + (3) - (4) という式を作ると (6) 1/b1 + 1/b2 - 1/x = k ( 1/a1 + 1/a2 - 1/y ) となるので、この式が k について恒等的に成り立つならば、 (2-1) 1/b1 + 1/b2 - 1/x = 0 ⇔ 1/x = 1/b1 + 1/b2 (2-2) 1/a1 + 1/a2 - 1/y = 0 ⇔ 1/y = 1/a1 + 1/a2 でなければならない、という感じです。 ただしここから言えるのは『(1)⇒(6)』および『(2)⇒(6)』だけです。 『(6)⇒(1)』は成り立ちませんから、 （反例： x = 2, b1 = 3, b2 = 6, y = 4, a1 = 12, a2 = 6 など） 『(2)⇒(1)』も成り立ちません。 結局、(1)は(2)であるための必要条件でも十分条件でもないわけです。 というわけでこの変形は相互に成り立ちません。 命題の解釈を間違っているか、 条件をいくつか見落としている可能性が高そうです。
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