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Mr_Hollandの回答
両辺を積分することがミソです! f_(n)(x)=exp(x)-Σ[k=0→n]x^k/k! とします。 (1) n=1のとき f_(1)(x)=exp(x)-(1+x) f_(1)'(x)=exp(x)-1 >0 (∵x>0) 従ってf_(1)'(x)は正なので、f_(1)(x)は単調増加関数。 x=0のとき f_(1)(0)=0なので、 f_(1)(x)>0 (∵x>0) (2) f_(n)(x)>0 と仮定します。 exp(x)-Σ[k=0→n]x^k/k! > 0 両辺を積分すると、 ∫[0→x]exp(t)dt-Σ[k=0→n]∫[0→x]t^k/k! dt > 0 ⇔exp(x)-1-Σ[k=0→n] x^(k+1)/(k+1)! > 0 ⇔exp(x)-Σ[k=0→n+1]x^k/k! > 0 ∴f_(n+1)(x) > 0 (1),(2)から数学的帰納法により、 x>0, n:正整数のとき exp(x) > Σ[k=0→n]x^k/k!
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