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2点間の距離の答え合わせ
pspice41の回答
あってます！
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実数p,q,r,sが p^2-qr=q^2-rs=r^2-sp=s^2-pq≠0 を満たすとき p+q+r+s の値を求めよ という問題の私の答えは以下の通りです.あっていますでしょうか? 実数p,q,r,sが p^2-qr=q^2-rs=r^2-sp=s^2-pq≠0 を満たすとき p,q,r,sの中に0でないものがある それをpとするように変数名を入れ替える p≠0 a=q/p b=r/p c=s/p とすると q=pa r=pb s=pc p+q+r+s=p(1+a+b+c)…(1) p^2(1-ab)=p^2(a^2-bc)=p^2(b^2-c)=p^2(c^2-a)≠0 1-ab=a^2-bc=b^2-c=c^2-a≠0…(2) 1-ab=a^2-bc bc=a^2+ab-1…(3) (2)から 1-ab=b^2-c c=b^2+ab-1…(4) ↓これを(3)のcに代入すると b(b^2+ab-1)=a^2+ab-1 a^2+ab-1=b^3+ab^2-b a^2+ab(1-b)-b^3+b-1=0 a^2=ab(b-1)+b^3-b+1…(5) (2)から c^2-a=1-ab c^2=a+1-ab ↓このcに(4)を代入すると (b^2+ab-1)^2=a+1-ab (ab+b^2-1)^2+ab-a-1=0 b^2a^2+(2b^3-b-1)a+b^4-2b^2=0 ↓これに(5)を代入すると b^2{ab(b-1)+b^3-b+1}+(2b^3-b-1)a+b^4-2b^2=0 (b-1)(b+1){(b^2+b+1)a+b^2(b+1)}=0…(6) (b^2+b+1)a+b^2(b+1)=0と仮定すると (b^2+b+1)a=-b^2(b+1)…(7) a^2(b^2+b+1)^2=b^4(b+1)^2 ↓このa^2に(5)を代入すると {ab(b-1)+b^3-b+1}(b^2+b+1)^2=b^4(b+1)^2 b(b-1)a(b^2+b+1)^2+(b^3-b+1)(b^2+b+1)^2=b^4(b+1)^2 ↓このa(b^2+b+1)に(7)を代入すると -b^3(b+1)(b-1)(b^2+b+1)+(b^3-b+1)(b^2+b+1)^2=b^4(b+1)^2 (b^3-b+1)(b^2+b+1)^2=b^3(b+1)(b^3+b^2+b-1) b^4+b^3+b^2+b+1=0 となる実数bは存在しないから (b^2+b+1)a+b^2(b+1)≠0だから(6)から ∴ b=±1 b=1の時(5)から a^2=1 a=±1 a=1と仮定すると 1-ab=0 となって1-ab≠0(2)に矛盾するから a=-1 ↓これとb=1を(4)に代入すると c=-1 ↓これとb=1,a=-1を(1)に代入すると p+q+r+s=p(1+a+b+c)=p(1-1+1-1)=0 ∴ p+q+r+s=0 b=-1の時 ↓これを(4)のbに代入すると c=-a ↓これとb=-1を(1)のc,bに代入すると p+q+r+s=p(1+a+b+c)=p(1+a-1-a)=0 ∴ p+q+r+s=0
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お礼
ホントですか！ありがとうございます！