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2重積分の変数変換について
siegmundの回答
- siegmund
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> x/a=rcosθ > y/b=rsinθ > > という変換の仕方で求まるのでしょうか? これで求められます. > また、初歩的な質問ですが、この積分で求まるのは楕円の面積なのでしょうか? 楕円の面積は ∬D dxdy (D:(x/a)^2+(y/b)^2≦1) です. dxdy が微小面積要素ですから,それを領域 D について加えあわせれば 当然領域 D の面積(今の問題では楕円の面積)になります. > 自分なりに解いてみたのですが その内容を書くべきでしょう. 利用規約に抵触することも心配ですし,何より「自分なりに解いてみた」内容がある方が 適切な回答が得られるのは明白でしょう.
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補足
>> 自分なりに解いてみたのですが >その内容を書くべきでしょう. >利用規約に抵触することも心配ですし,何より「自分なりに解いてみた」内容がある方が >適切な回答が得られるのは明白でしょう. ご指摘ありがとうございます。 自分で解いてみた結果としては以下のとおりです。 ヤコビの行列式が J=abr となり、 f(x,y)=f(arcosθ,brcosθ)=a^2r^2(cosθ)^2+b^2r^2(sinθ)^2 となるので、 ∬D'{a^2r^2(cos)^2+b^2r^2(sin)^2}abrdrdθ・・・(1) と考えました。 ∫[0~1]abr^3dr=ab/4 なので(1)は ab/4・1/2∫{(a^2+b^2)+(a^2-b^2)cos(2θ)}dθ となり、0≦θ≦2πの範囲で定積分し ab/4(a^2+b^2)π という結果を得ました。 前提として、計算結果が楕円の面積abπとなるという思い込みがあったので、あまりにもかけ離れていることに疑問を持ち質問させていただきました。