3つの直線に等角な直線は何本

質問

問題　同一平面上になくて、1点で交わる3つの直線が与えられたとき、この点を通過して、3つの直線と等角をなす直線を引け。またこのような直線はいくつ引くことができるか。
解説　3つの直線上に交点から相等しい長さを測り取って、この3点を通る平面へ交点から垂線を下し、延長する。求める直線は4つある。
自分は、1つの点を通って、1つの平面に垂直な直線は1つしかないので、3つの直線上に交点(P)から相等しい長さを測り取って、この3点を通る平面は4つあり、交点からその平面に垂線を下すと思ったのですが、添付した図のように、平面を1つ(平面Q)しか考えられませんでした。どなたかどうして4本引けるかを教えてください。お願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

あなたの図で言えば、「交点(P)から相等しい長さを測り取って」というときの3点はPの左側しか考えていません。実際には同じ長さの点はPの右側にもあるのです。
直線a上に点A、P、A’
直線b上に点B、P、B’
直線c上に点C、P、C’
があるとすれば、
A,、B、Cを通る平面
A',、B、Cを通る平面
A,、B'、Cを通る平面
A,、B、C'を通る平面
の4つがあります。

お礼

お返事ありがとうございます。
右にも左にも交点から、等しい長さが切り取れるとは意外でした。図の全体を見れるように注意したいと思います。

補足

a上の点(AかA')とb上の点(BかB')とc上の点(CかC')を選んで8つの平面がつくれるが、そのうち平行な2つの平面があるので、
A、B、Cを通る平面への垂線の延長は、A'、B'、C'を通る平面への垂線。
A'、B、Cを通る平面への垂線の延長は、A、B'、C'を通る平面への垂線。
A、B'、Cを通る平面への垂線の延長は、A'、B、C'を通る平面への垂線。
A、B、C'を通る平面への垂線の延長は、A'、B'、Cを通る平面への垂線。
になると思うのですが、2つの平面が平行になることは証明できるのでしょうか？何かヒントがあれば教えてくださいお願いします。

回答No.2

f272

> 2つの平面が平行になることは証明できるのでしょうか？

Pについて点対称なのだから明らかだろう。

お礼

簡潔な回答ありがとうございます。