正六角形内の線分の比

質問

三角形ACDが全体の面積の3分の１であるところまでは簡単にわかるのですがその先に進めません。どなたか教えていただけませんか。よろしくお願いします。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

正六角形ABCDEFの面積をSとおく。何回か補助線を引き直して、自分で確かめて下さい。

△ABC = (1/6)Sなので、
△ACG = □ABCG - △ABC = (1/4 - 1/6)S = (1/12)Sとなる。
△ACD = (1/3)Sであることは分るので、
△AGD = △ACD - △ACG = (1/3 - 1/12)S = (1/4)S。
従って、CG : GD = △ACG : △AGD = 1:3である。
△ECD = (1/6)Sであるから、
△EGD = △ECG * (GD / CD) = (1/6)S * 3/4 = (1/8)S。
一旦ここまで。で以下補助線を引き直す。

△ABC = (1/6)S
△ACG = (1/12)S
△AFG = △AFC = (1/3)S （高さが等しいことに注意）
△EGD = (1/8)S であるから、

△ FGE = (1 - 1/6 - 1/12 - 1/3 - 1/8) S = (7/24)S。
一方、△EGI = □ IGDE - △EGD = (1/4 - 1/8) S =(1/8)Sであるから、
△FGI = △FGE - △EGI = (7/24 - 1/8)S = (1/6)S

従って、FI: IE = △FGI : △ EGI = 4:3 である。

お礼

いくつか気付きが足りなかったようです。作図してみるとなるほど簡単に解けました。ありがとうございます。