• ベストアンサー

同型とは?

shushouの回答

  • ベストアンサー
  • shushou
  • ベストアンサー率51% (16/31)
回答No.3

2つの体KとLが同型というのは、 KとLが同じ構造をしている ということで、ぶっちゃけた話 KとLは同じものだと思ってもさしつかえないよ ということです。 (これは私の同型というものに対するイメージです。) 厳密には、 2つの体KとLが同型というのは、KからLへの同型写像がある というもので、同型写像とは 全単射な準同型写像 のことです。 KからLへの準同型写像とは 任意のa,b∈Kに対し f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b) を満たすKからLへの写像(関数)fのことです。 例を1つ。 R^2={(x,y)| x,yは実数}と複素数体Cは同型です。 R^2からCへの写像fを f(x,y)=x+iy (iは虚数単位) と定めるとfは同型写像になるからです。 R^2とCは同型なのですから R^2とCはほとんど同じものだと考えてよいことになります。 また、自分から自分への(つまりCからCとか)の同型写像を 自己同型写像、あるいは略して自己同型といいます。 f(x+iy)=x-iy というある複素数をその共役に写すという写像fは 自己同型写像になりますよ、というのが >『複素数からその共役にうつる演算は体Cの1つの自己同型である』 の述べていることです。 詳しく知りたいのでしたら代数学の本をひもとく必要がありますが、 そこを理解しないと先へ進めないということもないでしょうから、 (というのは質問にある『体Cの同型でうんぬんなんてのは 複素解析を学ぶ上でははっきり言ってどうでもいいことだからです) 頭の片隅にでも残しておいて飛ばしてもいいと思いますよ。

taropoo
質問者

補足

> また、自分から自分への(つまりCからCとか)の同型写像を > 自己同型写像、あるいは略して自己同型といいます。 > f(x+iy)=x-iy というある複素数をその共役に写すという写像fは > 自己同型写像になりますよ、というのが > >『複素数からその共役にうつる演算は体Cの1つの自己同型である』 > の述べていることです。 これが分かりません。「自分から自分へ」の自分ってどのレベルの話ですか? たとえば複素数 z=x+iy があって、これを自分自身(つまりz=x+iy)に移すよ、って考えちゃうと 当然複素数からその共役へうつす変換は同型とは言えなくなっちゃう。 ってことは「自分」ってのは z=x+iy とかいうレベルじゃなくて、複素数体、実数体、有理数体、とか そういうレベルの話ですか? でもそうすると > KからLへの準同型写像とは > 任意のa,b∈Kに対し f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b) > を満たすKからLへの写像(関数)fのことです。 を満たしていれば、すでにそれは自己同型のような気がするのですが。 私は何を勘違いしているのでしょう?

関連するQ&A

  • 体の準同型について

    複数の本でガロア理論について学んでいるのですが、 「K自己同型」という言葉の定義が複数あって困っています。 (1)K,Aを体とする。KからAへの準同型があるとき、AをK代数という。 K,A,Bを体、φ:K→A、ψ:K→Bを準同型とし、φ,ψにより、A,BをK代数とみなす。このとき、準同型f:A→Bが、f◦φ=ψという条件を満たすとき、fをK準同型という。K準同型が体の同型のときK同型という。 AがK代数である時、AからAへのK同型全体の集合は写像の合成により群になる。これをK自己同型群といい、Aut_k (A)とかく。 (2)Aを一つの体とする。Aの自己同型全体をAut(A)で表し、自己同型群と呼ぶ。 Aの一つの部分体Kが与えられたとする。σ∈Aut(A)がKのすべての元を固定するとき、σはAのK上の自己同型と呼ばれる。K上の自己同型の全体はAut(A)の部分群をなすので、この部分群をAのK上の自己同型群という。 (2)の定義の方は理解できたのですが、(1)のK代数の扱いがよくわかりません。この二つの定義は本質的には同じことを定義しているのでしょうか。(よろしければ、そうなる理由も書いていただけると嬉しいです。)

  • 環準同型

    代数の勉強をしていてわからないことがあります。 Rを環とし、Rの単位元を1とする。このとき、整数環ZからRへの環準同型 f:Z→R が唯1つ存在する。 f(n)=n・1(nはZの元)で与えられるf:Z→Rは環準同型である。これが唯1つの環準同型である。 と、あるのですがこれが環準同型であることは、定義にしたがってあてはめればわかったのですが、 唯1つであるということがわかりません。 なぜこのように結論付けられるのか教えていただけないでしょうか。

  • 準同型写像についての問題です。

    群準同型 φ:C^{×}→C^{×} で Image(φ)=TかつKer(φ)=R^{×}をみたすものを一つ与えよ。 という問題です。 ただし、C^{×}は複素数体の乗法群。 Tは{z∈C^{×}||z|=1}。 R^{×}は、実数体の乗法群です。 自明なことも含め、できるだけ詳しく教えていただけたらうれしいです。

  • 群論の基礎で・・・

    今群論を勉強しているのですが、勉強を進めていてわからないところがいくつかあって困っています。どなたか教えていただけると嬉しいです。 (1)「Gを有限群、Hをその部分群、とする時 Gの元の位数、は、Gの位数、の約数である。」 と、あったのですが、これは何故でしょうか。。 (2)「写像fを、R(実数)-{0} → C(複素数)-{0}          θ     →   exp(2πiθ) で定めるとき、これは準同型写像」 とあったのですが、準同型の定義に従って、R-{0}の2つの元としてθ,ψをとってきて、f(θψ)=f(θ)f(ψ)が成立することを確認しようとすると、(左辺)=exp(2πiθψ)、(右辺)=exp(2πiθ)・exp(2πiψ)=exp(2πi(θ+ψ))となり、この2つが等しいとは思えません。 f(θψ)=f(θ)f(ψ)が成り立つためには、R-{0}内での演算は+(足し算)で、C-{0}内での演算は×(掛け算)、というふうに演算が定められている、と、考えるのかな?と思ったのですが、違う演算が定義された群同士を結ぶ写像が準同型になる、というのは許されるのですか? 長くてわかりにくい文章になってしまいすみません。 よろしくお願いいたします。

  • 複素共役 共役複素数

    複素共役 共役複素数 複素共役の性質としてよくわからない性質があったので 質問させて頂きます。 複素数をz、zに対する複素共役をz^-で表します。 (z^-1)=(z^-)/(|z|^2) これは、複素数の逆元を表していると思います。 この、(z^-1)とは(1/z)と同じことなのですか? また、(z^-1)=(z^-)/(|z|^2) となる理由を知りたいのですが、 証明の仕方を教えて頂けないでしょうか? 以上、よろしくお願い致します。

  • 加法と乗法について閉じているものはどれでしょうか?

    2×2行列からなる次の形(1)~(4)の集合のうち、加法と乗法について閉じているものはどれでしょうか? 1つ選んでください。 (1) α...0 -β...1 (α,β∈複素数C) (2) α...β -β'...0 (α,β∈複素数C,-β'は-βの複素共役数) (3) α...β β...α' (α,β∈複素数C,α'はαの複素共役数) (4) α...β -β'...α' (α,β∈複素数C,α'はαの複素共役数、-β'は-βの複素共役数) という問題でなぜそれが正解になるのか、また他の選択肢はなぜ間違いなのかという根拠がテキストに書かれておらずわかりません。途中計算を含めて詳しい解説を宜しくお願いします。その際「加法と乗法について閉じている」について重点的にお願いします。 なお正解は(4)で、解説には以下のように書かれています。 加法と乗法で閉じているかどうかを確かめる問題だが、まず(1)は加法について閉じていないのは明らか(成分に1がある)。他は加法について閉じているのは明らかであるから、乗法が問題である。(2)(3)ではα=0に限ってテストしてみると少し楽だが、正直に計算しても大した事はない。

  • 大学の代数の問題です。 

    大学の代数の問題です。  f(x)∈R[x]とする。 α∈C\R(α=a+biと書いたときb≠0となる複素数)がf(α)=0を満たすとき、αの複素共役α ̄=a-biもf(α ̄)=0を満たすことを示してください。  またR[x]における既約元は一次または二次であることを示してください。  α ̄はαのバーです。

  • 共軛と自己準同型

    四元数の共軛は乗法と加法を用いて以下の様に書き表すことが出来ます。 Cj Q = -1/2(Q + iQi + jQj + kQk) … (*) 四元数 - Wikipedia 共軛、ノルムおよび逆数 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0#.E5.85.B1.E8.BB.9B.E3.80.81.E3.83.8E.E3.83.AB.E3.83.A0.E3.81.8A.E3.82.88.E3.81.B3.E9.80.86.E6.95.B0 また、 シュプリンガー数学リーディングス 数(下) .D.エビングハウス (著)、成木 勇夫 (翻訳) 出版社: 丸善出版 ISBN-10: 4621063871 ISBN-13: 978-4621063873 の235頁、§1.6 R-ベクトル空間Hの自己準同型 より、 任意の2つの四元数A,Bに対し、写像 Q l→ AQB は、Hからそれ自身へのR-線型自己準同型(∈End(H))である。 とあります。更に236頁の例に、共軛 Q l→ Cj Q はEnd(H)に属し、式(*)が示されています。 四元数の共軛写像がEnd(H)に属していると言う事は、AQB = Cj Q を満たす2つの四元数A,Bは存在するのでしょうか。存在するのなら、A,Bはどの様な値なのでしょうか。稚拙な文章ですが、宜しくお願いします。

  • 体での共役の定義って?

    複素数での共役の定義を一般的に述べればどういう事か考えています。 a+biとa-biを掛けたり足したりすると実数になり,実数体は複素数体の真の部分体ですよね。 従って、これらの事を考慮して 最小多項式をとりあえず調べてやってみました。 1+iは0次式a=0の解には当然成り得ません。また一次式ax+b=0の解にも成り得ませんから更に二次式ax^2+bx+c=0…(*)を考えるとこれに1+iを代入して (2a+b)i+(b+c)=0を得,2a+b=b+c=0でなければなら事。 c=0の場合はb=a=0となり不適。よってc≠0でb=-c,a=c/2。 よって(*)に代入して c/2x^2-cx+c=0で両辺を2/c倍してx^2-2x+2=0。これが1+iのR上の最小多項式。 そしてこの方程式を解くと,x=1±iで他の解はx=1-i。 [3]√2のQ上の最小多項については α=[3]√2と置くと,α^3=2なのでx^3-2=0が[3]√2のQ上の最小多項式。 この3次方程式をQ上で解くと因数分解できないので他の解は無し。 R上で解くとx^3-2=(x-[3]√2)(x^2+[3]√2x+[3]√2)=0. よって他の解はx=(-[3]√2±√([3]√4-4[3]√2))/2 となりました。-[3]√2±√([3]√4-4[3]√2))/2は互いを足しても掛けても[3]√2でQの元にはなりません。 α∈E\K(Eは可換体Kの拡大体)が代数的な時。最小多項式が偶数次数の場合には場合には共役な解の対になっているが奇数次数の場合には共役対を持たない解がある。 [結論] 3次の場合にはペア無しが1つ現れる。4次の場合にはふたペアになると予想します。 従って,分かった事はどの元にも共役元が存在するとは限らない。 故に 「F'を体。FをF'の真の代数的拡大体とするとa∈Fに於いてx∈Fはaの共役である。 ⇔(def) (i) a∈F'の時はx=a (ii) a∈F\F'の時は ax∈F'且つa+x∈F' なるx∈F\F'」 が共役な元の定義だと思いますが…。 如何でしょうか? 体での共役の定義をご存知の方いらっしゃいましたらお教え下さい。

  • C言語について質問です

    複素数演算について各演算を作成し、関数を扱うために関数complex.cを作成したいです. 今回は和差積商と絶対値,偏角,共役複素数まででよいのですが、解き方がわかりません。 よろしくお願いします