高校数学

質問

bcosB=ccosCが成り立つことはbsinB=csinCが成り立つための「　　」
答:必要条件であるが十分条件ではない。
どのように求めたらこの答えに辿り着きますか？

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

b cosB = c cosC …①
b sinB = c sinC …②

まず、①の条件が成立する三角形について考えます。
余弦定理を用いて辺だけの関係式にすると
b * { (cc + aa - bb) / (2ca) } = c * { (aa + bb - cc) / (2ab) }
両辺に 2abc をかけて分母を払うと
bb * (cc + aa - bb) = cc * (aa + bb - cc)
展開、整理して
bbcc + aabb - bbbb = ccaa + bbcc - cccc
(aabb - ccaa) - (bbbb - cccc) = 0
aa (bb - cc) - (bb + cc) (bb - cc) = 0
{ aa - (bb + cc) } (bb - cc) = 0
よって
aa = bb + cc （Aが直角）または b = c
とわかります。

つぎに②の条件をみたす三角形について考えます。三角形の外接円の半径をRとすると、正弦定理を用いて
b * ( b / 2R ) = c * ( c / 2R )
よって b = c であることがわかります。

以上より、
①ならば② は偽（反例 a = 5 , b = 3 , c = 4の直角三角形）
②ならば① は真
であり、①は②であるための必要条件であるが十分条件ではない、といえます。

お礼

理解できました。
ありがとうございました。