音波の干渉(無限遠方)

質問

※先に図を見てから文章を読んだ方が良いかもしれません。

・ある振動数の同一の音波を3.0m離した2つのスピーカーA,Bから同時に鳴らした。線分CDが線分ABの垂直二等分線になるように点Cと点Dをとり、点Dを通り、直線ABに平行な直線上を観測者が動くものとする。
観測者は点Dで、音の強め合いを観測した後、図の上方向に移動を開始し点Dから1.5m移動した点Pで再び音の強め合いを観測した。空気中の音速を340m/s、CD間の距離を4.0mとする。

(問)観測者はその後、直線DP上を図の上方向に無限遠方まで移動した。観測者が音の強め合いを観測する点は、D、P以外に何個存在するか。

という問題なのですが、考えても分からず、調べても解説が出てこなかったので困ってます...分かる方がいたら教えて下さい！
※ちなみに、「音波の波長=1.0m」「振動数f=3.4×10^2Hz」です。

回答No.2

atm_phantom · ベストアンサー

№ 1 の方がしている回答を見て、ちょっと気になったことがありますので、コメントさせてもらいます。

先ず、№ 1 の方の分子を有理化している式の３行めの式は
=(6) / (√((1+1.5/x)^2+16/x^2)+√((x-1.5/x)^2+16/x^2))
↓
=(6) / (√((1+1.5/x)^2+16/x^2)+√((1-1.5/x)^2+16/x^2))

と直す必要があります。これは単に書き間違いで大した問題ではありません。

気になったのは、点 P が無限遠店に移動するときの途中では単調増加であり、３より大きくなることは本当に無いかと感じたことです。
でも、下記の様に考えると、そんなことは無いのです。点 D を通る線分 AB に平行な直線上を無限遠店に向かう点を Q とすると、三角形の２辺の和は残りの１辺より必ず長いので、
BQ < AQ + AB = AQ + 3
従って、
BQ - AQ < 3
となりますから、従って L = BQ - AQ = 2 となる１点しか存在しません。

お礼

丁寧かつ分かりやすい解答有難うございます！有利化の方は、あまり教わっていなかったため助かりました！

回答No.1

f272

観測者が直線DP上でD点よりxメートル上方にいれば，スピーカーA，Bから観測者までの距離の差はL=√((x+1.5)^2+16)-√((x-1.5)^2+16)です。
例えばx=0のときはL=0で，x=1.5のときはL=1です。
観測者が音の強め合いを観測する条件はLが整数となることですから，その個数を求めます。分子を有利化すると
L=(((x+1.5)^2+16)-((x-1.5)^2+16)) / (√((x+1.5)^2+16)+√((x-1.5)^2+16))
=(6x) / (√((x+1.5)^2+16)+√((x-1.5)^2+16))
=(6) / (√((1+1.5/x)^2+16/x^2)+√((x-1.5/x)^2+16/x^2))
だからx→∞のときL→3です。
したがってL=2だけが該当します。1個ですね。
なお，L=0は点Dに対応し，L=1は点Pに対応します。

お礼

丁寧な解答有難うございました！有利化での解答はあまり教わらなかったので、少し分からなかったですが勉強になりました！