フェボナッチ数列と黄金比との関係

質問

ある本に、フェボナッチ数列の隣り合う項の比をとっていくと（a_1/a_2, a_2/a_3,...のように）ある値に収束していき、その値が黄金比になると書いてありました。いきなりのつながりでびっくりしたんですが、フェボナッチ数列と黄金比の間にはつながりがあるんでしょうか？なぜ、収束値が黄金比になったんでしょうか？？教えてください。

回答No.1

siegmund

フェボナッチでなくて，フィボナッチと言う方が普通のようですが...
(所詮，外国人名なので，表記の違いはあるかも知れません)．

フィボナッチ数列の定義は
(1)　　a(0) = 1
(2)　　a(1) = 1
(3)　　a(n) = a(n-2) + a(n-1)
で，1，1，2，3，5，8，13，... となります．

比を取って，b(n) = a(n)/a(n-1) とすると，(3)から
(4)　　b(n) = 1/{b(n-2)} + 1
あるいは，同じことですが
(5)　　b(n) b(n-2) = b(n-2) + 1
です．
b(n) の極限値が b(∞) が存在するなら，(5)から
(6)　　{b(∞)}^2 = b(∞) + 1
ですから，この２次方程式を解いて，正の方の解を選び(明らかに b(n) は正)
(7)　　b(∞) = (√5 - 1)/2
で，黄金比になります．
本当は，極限値が存在することの証明が必要ですが，さぼりました．

なお，フィボナッチ数列の一般項(初項は第０項)が
(6)　　(1/√5) {(1/x)^(n+1) - (-x)^(n+1)}
です(ビネの公式)．

下のスレッドもご覧下さい．

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=86219

お礼

御回答ありがとうございます！！
フィボナッチ数列の一般項も求めたかったので、参考になります。
もしよろしければ、ビネの公式の証明も教えていただけないでしょうか。