計算微分

質問

この二問の微分がどうしてもとけません。
2番は積の微分でやってるのですが…

教えてください

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

(1)
まず、真数部分の√の中の分数を変形（分母の有理化のような感じ）して
{ √(1+x^2) + x } / { √(1+x^2) - x }
= { √(1+x^2) + x }^2 / { (1+x^2) - x^2 }
= { √(1+x^2) + x }^2
よって真数部分は
{ √(1+x^2) + x }
であり、
y’ = { √(1+x^2) + x }’ / { √(1+x^2) + x }
= [ { 2x / 2√(1+x^2) } + 1 ] / { √(1+x^2) + x }
= { x + √(1+x^2) } / [ √(1+x^2) * { √(1+x^2) + x } ]
= 1 / √(1+x^2) …答

(2)
f(x) = x^2 , g(x) = 2^(1/x) とおく。
g(x) > 0 であり
log {g(x)} = (1/x) log2
この両辺をxについて微分して
g’(x) / g(x) = -(1/x^2) log2
g’(x) = - {2^(1/x)} (log2 / x^2)
よって
y’ = f’(x) g(x) + f(x) g’(x)
= {2^(1/x)} * 2x - {2^(1/x)} * log2
= {2^(1/x)} * (2x - log2) …答