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反ユニタリ演算子について質問です。

Uをヒルベルト空間上の反ユニタリ演算子とする。 すなわち (UΦ, Uψ)=(Φ, ψ)*, U(ξΦ+ηψ)=ξ*UΦ+η*Uψ であるとする。また、反線形演算子Aの共役は、 (Φ,A^†ψ)≡(AΦ, ψ)* と定義する。 このとき U^†=U^(-1) となることを示せ。

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  • 回答No.7

ちなみに確認ですが、 > Φとψを任意にとる。 > <Φ, U^†Uψ>=<Φ, ψ> から > U^†U=I の証明は出来ますか?

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質問者からのお礼

はい、出来ます。

その他の回答 (6)

  • 回答No.6

OKです。もう少しなので、頑張ってほしい まず、<Uψ, Uψ>については、最初の規則 > (UΦ, Uψ)=(Φ, ψ)* から、まだ行けますね。 そして、<Uψ, UU^†Uψ> も、最初の規則 > (UΦ, Uψ)=(Φ, ψ)* を使った後、更に > (Φ,A^†ψ)≡(AΦ, ψ)* を使えば、まだ変形出来るはず。 頑張ってください。もう少しです。

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質問者からのお礼

別解を思いつきました。Φとψを任意にとる。 <Φ, U^†Uψ>=<UΦ, Uψ>*=<Φ, ψ>**=<Φ, ψ> より、U^†U=I. また群論の初歩より、U^†U=I ならばUU^†=I. ∴U^†=U^(-1) これでよいのではないでしょうか?

  • 回答No.5

一旦どこまで計算が進んでいるか書いてもらえますか?

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  • 回答No.4

> すみません、<U ψ, UU^†Φ>になる理由がわからないので <Φ, UU^†Φ> の左側のΦをU ψに置き換えただけですよ。 > +<ψ, ψ>をこれ以上どうすれば (ああ、実は敢えて黙っておいたんですが...)「任意のHの要素γに対し、<γ, γ> ≧ 0」、つまり「任意のHの要素γに対し、<γ, γ> は『実数』」ということですね。

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質問者からのお礼

全体をΦで表わすか、ψで表わすかしなければならないと思うのですが、そのどちらを計算しても0になることが導けません。もうどうしようもないです。最後の詰めを教えていただけないでしょうか。

  • 回答No.3

あ、後、最後の -<U^(-1)Φ, U^(-1)Φ> は、符号が反対でないかな?

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質問者からのお礼

<U^†Φ-U^(-1)Φ, U^†Φ-U^(-1)Φ> =<Φ, UU^†Φ>-<Φ, Φ>-<Φ, Φ>+<U^(-1)Φ, U^(-1)Φ> =<Uψ, UU^†Uψ>-<Uψ, Uψ>- <Uψ, Uψ>+<ψ, ψ> までです。

  • 回答No.2

いいところまで行ってます。もうひと踏ん張りです。 ◯ 最初の <Φ, UU^†Φ> については、左側について、U^(-1)Φ = ψ ⇒ U U^(-1) Φ = U ψ ⇒ Φ = U ψ を代入すると、<U ψ, UU^†Φ>なのでもう少し頑張れる。 ◯ 一方 <U^(-1)Φ, U^(-1)Φ> については <U^(-1)Φ, U^(-1)Φ> = <ψ, ψ>で、こちらはこれ以上どうしようもない.... ですが、所で <Φ, Φ> = <Uψ, Uψ> で、これについてはもう一段階変形出来ますね。

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質問者からのお礼

すみません、<U ψ, UU^†Φ>になる理由がわからないので、教えていただけないでしょうか? それと、+<ψ, ψ>をこれ以上どうすればよいのかさっぱりわからないのです。こちらについても解説していただけないでしょうか?

  • 回答No.1

一般にヒルベルト空間 Hの内積は正定値性を持つ。つまり、任意のHの要素Φに対し、<Φ, Φ> ≧ 0 かつ <ψ, ψ> = 0ならば ψ = 0。 従って、f, g をH上の写像として、任意のHの要素Φに対し、<fΦ - gΦ, fΦ - gΦ> = 0が言えるならば、これは任意の任意のHの要素Φに対し、fΦ = gΦとなる、という事であるから、 f = g が言える。 従って、任意の Hの要素Φに対し、<U^†Φ - U^(-1)Φ, U^†Φ - U^(-1)Φ > = 0が言えればよい、という事になる。 後は一旦ご自身で頑張ってください。内積の線形性やら、問題に書いてある定義やらを使って、展開して計算しまくれば、やがて出る。U^(-1)Φ = ψ とおいた方が計算がしやすい。

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質問者からのお礼

私の計算です。挫折しました。 <U^†Φ-U^(-1)Φ, U^†Φ-U^(-1)Φ>において、U^(-1)Φ=ψとおくと、 <U^†Φ-U^(-1)Φ, U^†Φ-U^(-1)Φ>=<U^†Φ-ψ, U^†Φ-ψ> =<U^†Φ, U^†Φ>-<U^†Φ, ψ>-<ψ, U^†Φ>-<ψ, ψ> =<UU^†Φ, Φ>*-<Φ, U^†Φ>*-<Uψ, Φ>*-<ψ, ψ> =<Φ, UU^†Φ>-<Uψ, Φ>-<Φ, Uψ>-<ψ, ψ> =<Φ, UU^†Φ>-<UU^(-1)Φ, Φ>-<Φ, UU^(-1)Φ> -<U^(-1)Φ, U^(-1)Φ> =<Φ, UU^†Φ>-<Φ, Φ>-<Φ, Φ>-<U^(-1)Φ, U^(-1)Φ> ということになりました。これが0になることを示すにはどうすればよいでしょうか?

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